Propiedades de los logaritmos

Cómo usarlas - Ejemplos - Demostraciones


Se enuncian las propiedades básicas que cumplen los logaritmos. Entre los principales usos de la reglas es reescribir expresiones con logaritmos. Varios ejemplos muestran como pueden ser usadas estas reglas, justificando paso a paso, con explicaciones concisas. Se termina con teoría, dando dos tipos de pruebas: Demostraciones basadas en la definición de la función logarítmica como la inversa de la función exponencial y pruebas basadas en la definición del logaritmo mediante una integral.

1 Leyes o propiedades de los logaritmos

Sean $u,v>0, \; r$ un número real, $a\ne 1$ y $ a>0$.

Se tiene:

$ \text{ 1) }\; \; \log_a(uv)=\log_au+\log_av$

El logaritmo de un producto
es la suma de los logaritmos

$ \text{ 2) }\; \; \log_a(\frac{u}{v})=\log_au-\log_av$
$ \text{ 3) }\; \; \log_a(u^r)=r\log_au$
$ \text{ 4) }\; \; \log_a(1)=0$

El logaritmo de uno en cualquier base
es cero

$ \text{ 5) }\; \; \log_a(a)=1$

El logaritmo de la base
es uno


2 Algunos usos de las leyes de los logaritmos

Las propiedades de los logaritmos se aplican en diversas situaciones: para estimar numéricamente algunos logaritmos, para expresar un logaritmo con un argumento complicado en términos de logaritmos más sencillos o el proceso inverso en que se tiene varios logaritmos y se quiere expresar como el logaritmo de una cantidad. Como veremos a continuación, las propiedades se pueden aplicar de izquierda a derecha o de derecha a izquierda.


2.1 Estimar numéricamente algunos logaritmos

Cálculo aproximado de algunos logaritmos en base a la aproximación de otros

Ejemplo Aplique las propiedades de los logaritmos para aproximar los logaritmos dados, usando que $\log 2 \approx 0.3010$ y $ \log 3 \approx 0.4771$

a) $\log(12)$

Solución a)

Descomponemos $12$ como producto de sus factores primos, sabiendo que depende sólo de $2$ y $3$, $12=2^2\cdot 3$
$\log(12)= \log(2^2\cdot 3 ) $ Escribir como un producto
$= \log(2^2)+\log( 3 )$ Logaritmo de un producto
$= 2 \log(2)+\log( 3 )$ Logaritmo de una potencia
$\approx 2\cdot 0.3010 + 0.4771 = 1.0791$
b) $\log\frac{3}{2}$

Solución b)

Aplicamos de una vez la regla del logaritmo de un cociente
$\log\frac{3}{2}=\log 3- \log 2$ Logaritmo de un cociente
$\approx 0.4771 - 0,3010 =0.1761$
c) $\log(0.36)$

Solución c)

Expresamos el decimal como un cociente entre potencia de la base, 10. $0.36=\frac{36 }{100}$. Escribimos 36 en términos de $2$ y $3$: $0.36=\frac{2^2\cdot 3^2 }{10^2}$. Así que podremos aplicar la ley del logaritmo de un cociente, luego la del producto y finalmente la fórmula del logaritmo de una potencia.
$\log(0.36)= \log \left( \frac{2^2\cdot 3^2 }{10^2} \right)$ Escribir como un cociente
$=\log (2^2\cdot 3^2)-\log(10^2) $ Logaritmo de un cociente
$=\log (2^2)+ \log( 3^2)-\log(10^2)$ Logaritmo de un producto
$=2 \log (2)+2 \log( 3)-2\log(10) $ Logaritmo de una potencia
$= 2\cdot 0.3010+2\cdot 0.4771 - 2 =-0.4438$
Ayuda: expresar cada número como una combinación de producto, cociente y/o potencias de $2,3$ y la base $10$. Entonces aplicar propiedades.

2.2 Desarrollar un logaritmo

En los siguientes ejercicios se tienen logaritmos de productos, cocientes o potencias, combinados y se quiere expresar en términos de logaritmos más sencillos. Los ejercicios están resueltos paso a paso con sus justificaciones.

Ejemplo Expresar en términos de $ \log x, \log y$ y $ \log z$

a) $\log(xyz)$
Solución a)
Por una sola vez se hace en detalle.
$\log(xyz)=\log((xy)z)$ Se asocia los dos primeros factores.
En la primera igualdad se aplica la ley del logaritmo del producto de $xy$ con $z$.
$ =\log(xy)+ \log z$ Logaritmo de un producto
$=\log x+\log y+ \log z$ Logaritmo de un producto
Podemos proceder más rápido cuando se tenga un producto de tres o más factores.
b) $\log\frac{x}{yz}$
Solución b)
Primero aplicamos la ley del logaritmo de un cociente, luego la de un producto. Es necesario el paréntesis.
$\log\left( \frac{x}{yz}\right)= \log x- \log (yz)$
$= \log x- \left(\log (y)+\log(z)\right)$ Logaritmo de un producto
$= \log x- \log y-\log z $
c) $\log(\sqrt{x})$
Solución c)
Antes de aplicar propiedades de los logaritmos se escribe la raíz como una potencia. Luego, se aplica la ley del logaritmo de una potencia
$\log(\sqrt{x})=\log \left( x \right)^{1/2} $
$= \frac{1}{2}\log x $ Logaritmo de una potencia
Cuando se tienen funciones como las definidas por las expresiones del siguiente ejercicio y se quieren derivar, resulta conveniente preparar la función antes de derivar, escribiendo la función como una suma de logaritmos más simples.

Ejemplo Expresar en términos de $ \ln x, \ln (x-1)\; $ y $\; \ln (x-3)$

a) $\ln(x\sqrt{x})$
Solución a)
Escribimos el radical como una potencia. Antes de usar las propiedades de los logaritmos podemos aplicar la propiedad del producto de potencias, entonces el argumento quedará como una potencia, se aplica la propiedad de los logaritmos
$\ln(x\sqrt{x})=\ln(x\cdot x^{1/2}) $ Escribir como una potencia
$=\ln( x^{3/2})$ Producto de potencias con la misma base
$=\frac{3}{2}\ln(x) $ Logaritmo de una potencia
b) $\ln\frac{x}{(x-1)(x-3)^2}$
Solución b)
b) Se aplica la propiedad del cociente. Quedarán dos logaritmos.
$\ln\frac{x}{(x-1)(x-3)^2}= \ln (x)- \ln((x-1)(x-3)^2) $ Logaritmo de un cociente
   $ = \ln (x)-\left( \ln(x-1) + \ln(x-3)^2 \right) $ Logaritmo de un producto
    $= \ln (x)- \ln(x-1) -2 \ln(x-3)$ Logaritmo de una potencia
c) $\ln(\sqrt{x(x-1)^3})$
Solución c)
Escribimos el radical como una potencia
$\ln(\sqrt{x(x-1)^3})= \ln \left( x (x-1)^3 \right)^{1/2} $ Observa los paréntesis
  $=\frac{1}{2}\ln \left( x (x-1)^3 \right) $ Logaritmo de una potencia
  $=\frac{1}{2} \left(\ln( x )+\ln \left( (x-1)^3\right) \right) $ Logaritmo de un producto
    $=\frac{1}{2}\left(\ln( x )+3\ln ( x-1) \right) $ Logaritmo de una potencia

2.3 Escribir como el logaritmo de una cantidad

A veces se tiene una suma o una diferencia con múltiplos de logaritmos y se quiere escribir como un logaritmo. Esto es, expresarlo como un solo logaritmo con coeficiente 1. Es el proceso inverso de los ejercicios anteriores, aplicando las propiedades de derecha a izquierda.

Ejemplo Aplique las propiedades de los logaritmos para escribir como el logaritmo de una cantidad

a) $2\log(5)-3\log(6)$
Solución a)
Por una sola vez se hace en detalle.
$2\log(5)-3\log(6)$ No se tiene una diferencia de logaritmos
$\; \;=\log(5^2)-\log(6^3)$ Logaritmo de una potencia
$\; \;=\log\left(\frac{5^2}{6^3} \right )$ Logaritmo de un cociente
b) $\ln(x+1)-2\ln(x-3)-5\ln(x)$
Solución b)
$\ln(x+1)-2\ln(x-3)-5\ln(x)$
$ \; \; = \ln(x+1)-\ln(x-3)^2-\ln(x^5) $ Logaritmo de una potencia
$\; \;= \ln(x+1)-\left( \ln(x-3)^2+\ln(x^5)\right) $ Sacar factor común
$\; \;= \ln(x+1)-\ln\left( (x-3)^2x^5 \right)$ Logaritmo de un producto
$\; \;= \ln\left( \frac {x+1}{ (x-3)^2x^5 }\right )$ Logaritmo de un cociente
c) $\frac{1}{2}\left( \ln(x+1)-3\ln x -\ln(x-3) \right)$
Solución c)
Trataremos primero la expresión entre paréntesis llevándola a un logaritmo y finalmente aplicaremos la propiedad del logaritmo de una potencia para deshacernos del coeficiente $\frac{1}{2}.$
$\frac{1}{2}\left( \ln(x+1)-3\ln x -\ln(x-3) \right)$
$ \; \; =\frac{1}{2} \left( \ln(x+1)-\ln x^3 -\ln(x-3) \right)$ Log. de una potencia
$\; \;=\frac{1}{2} \left( \ln(x+1)-(\ln x^3 +\ln(x-3)) \right)$ Sacar factor común
$\; \;= \frac{1}{2}\left( \ln(x+1)-\left(\ln \left(x^3 (x-3)\right) \right) \right)$ Log. de un producto
$\; \;=\frac{1}{2}\left( \ln \frac{x+1} { x^3 (x-3) } \right)$ Logaritmo de un cociente
$\; \;= \ln\left( \frac{x+1} { x^3 (x-3) } \right)^{1/2}$ Logaritmo de una potencia
Ayuda: Recuerde que para aplicar la regla del logaritmo de un producto los coeficientes de los logaritmos deben ser iguales a $1$: $\log(A)+\log(B)$. Si no lo son debe aplicar antes la regla de la potencia.
Un comentario similar se tiene cuando se va aplicar la regla del cociente.

2.4 Simplificar expresiones con logaritmos

Podemos escribir una suma o resta de logaritmos como el logaritmo de una cantidad para luego simplificar.

Ejemplo Simplificar $\log 8-\log 2$

$\log 8-\log 2=\log \left(\frac{8}{2}\right)=\log 4$
En el siguiente ejemplo podemos simplificar con la técnica del ejercicio de arriba, pero también podemos aplicar la propiedad del logaritmo de una potencia para encontrar términos semejantes que se pasan a simpliplificar.

Ejemplo Simplificar $\log x-\log(x^3)+\log(x+1)$

$\log x-\log(x^3)+\log(x+1)$
$\; \;=\log x-3\log(x)+\log(x+1)$ Logaritmo de una potencia
$\; \;=-2\log(x)+\log(x+1)$ Ley distributiva

3 Ejecicios

Ejercicio Expresar en términos de $\log_2a, \; \log_2 b$ y $\log_2 c$

a) $\; \;\log \left( \frac{c}{ab^2} \right);$ b) $\; \; \log \left( a(bc)^2 \right)$

Respuestas
a) $\; \; \mathrm{log}\left( c\right) -2\,\mathrm{log}\left( b\right) -\mathrm{log}\left( a\right) $
b) $\; \; \mathrm{log}\left( a\right) +2\,\mathrm{log}\left( c\right) +2\,\mathrm{log}\left( b\right) $

Ejercicio Aplique las propiedades de los logaritmos para aproximar los logaritmos dados, usando que $\log 2 \approx 0.3010 \;$ y $\; \log 3 \approx 0.4771$

a) $\; \;\log(20);$ b) $\; \; \log\frac{1}{60}$

Respuestas
a) $\; \; 1.3010$
b) $\; \;-1.7781$

Ejercicio Aplique las propiedades de los logaritmos para escribir como el logaritmo de una cantidad. Simplifique

a) $\; \;2\log(4)-3\log(2);$

b) $\; \; \ln(x+1)^2-\ln(x+1)-\ln(x-1)$

Respuestas
a) $\; \; \log 2$
b) $\; \;\ln \left( \frac{x+1 }{x-1} \right)$

4 Pruebas basadas en la función logarítmica como la inversa de la exponencial

Primero vamos a probar las tres primeras propiedades
$ \text{ 1) }\; \; \log_a(uv)=\log_au+\log_av$ Logaritmo de un producto
$ \text{ 2) }\; \; \log_a(\frac{u}{v})=\log_au-\log_av$ Logaritmo de un cociente
$ \text{ 3) }\; \; \log_a(u^r)=r\log_au$ Logaritmo de una potencia
Llamaremos $e$ y $f$ los logaritmos del lado derecho de cada propiedad $$e=\log_au \; \text{ y } \ f=\log_av$$ Tenemos dos formas logarítmicas, las pasamos a sus formas exponenciales $$a^e=u \; \text{ y } \ a^f=v$$

Pasos generales para las demostraciones de las leyes 1,2 y 3:

Partir del lado izquierdo y llegar al derecho de la identidad

Sustituir $u$ por $a^e$ y $ v$ por $a^f$ en el lado izquierdo de la fórmula

Aplicar las leyes de los exponentes

Usar la identidad $log_a(a^h)=h$

Luego, sustituir, $e=\log_au \; \text{ y } \ f=\log_av$, para finalmente obtener el lado derecho de la identidad.

Pruebas:
$ \text{ 1) }\; \; \log_a(uv)=\log_au+\log_av$ Logaritmo de un producto
Prueba:
Llamamos $e$ y $f$ los logaritmos tratados $$e=\log_au \; \text{ y } \ f=\log_av$$
Las pasamos a sus formas exponenciales $$a^e=u \; \text{ y } \ a^f=v$$
Sustituimos en el lado izquierdo $$ \log_a(uv)= \log_a(a^ea^f)$$
Se aplica la ley del producto de potencias con la misma base se tiene $$\log_a( uv )= \log_a(a^{e+f})$$
Usamos la identidad $\log_a(a^h)=h$ $$\log_a(uv)=e+f$$
Finalmente, sustituimos $e$ y $f$ por sus expresiones logarítmicas $$\log_a(uv)= \log_a(u)+ \log_a(v)$$
$ \text{ 2) }\; \; \log_a(\frac{u}{v})=\log_au-\log_av$ Logaritmo de un cociente
Prueba:
Otra vez llamamos $e$ y $f$ los logaritmos tratados $$e=\log_au \; \text{ y } \ f=\log_av$$
Las pasamos a sus formas exponenciales $$a^e=u \; \text{ y } \ a^f=v$$
Sustituimos $u$ por $a^e$ y $ v$ por $a^f$ en el lado izquierdo de la fórmula
$$ \log_a(\frac{u}{v})= \log_a(\frac{a^e}{a^f})$$
Se aplica la ley del cociente de potencias con la misma base $$ \log_a(\frac{u}{v})= \log_a(a^{e-f})$$
Usamos la identidad $\log_a(a^h)=h$ $$\log_a(\frac{u}{v})=e-f$$
Finalmente, sustituimos $e$ y $f$ por su expresiones logarítmicas $$\log_a(\frac{u}{v})= \log_a(u)- \log_a(v)$$
$ \text{ 3) }\; \; \log_a(u^r)=r\log_au$ Logaritmo de una potencia
Prueba:
Llamamos $e$ el logaritmo tratado $$e=\log_au $$
Lo pasamos a su forma exponencial $$a^e=u $$
Sustituimos $u$ por $a^e$ en el lado izquierdo de la fórmula
Se tiene que $$ \log_a(u^r)= \log_a(\left(a^e\right)^r)$$
Se aplica la ley de la potencia de una potencia $$ \log_a(u^r)= \log_a(a^{er})$$
Usamos la identidad $\log_a(a^h)=h$ $$\log_a(u^r)= er$$
Finalmente, sustituímos $e$ por su expresión logarítmica $$\log_a(u^r)=r \log_a(u)$$
Para las demostraciones cuatro y cinco plantearemos la forma exponencial de la logarítmica y buscaremos el exponente: $$x=\log_au \; \text{ si y sólo si }\; a^x=u$$
$\log_a(1)=0$
Prueba:
Defina $x=\log_a1$. Queremos determinar el valor de $x$. Pasamos a la forma exponencial:
$$x=\log_a1 \; \text{ si y sólo si }\; a^x=1$$
Vemos que $x=0$ es el único exponente tal que $a^x=1$
Por tanto, $0=\log_a1$
$\log_a(a)=1$
Prueba:
Defina $x=\log_aa$. Queremos determinar el valor de $x$. Pasamos a la forma exponencial:
$$x=\log_aa \; \text{ si y sólo si }\; a^x=a$$
Vemos que $x=1$ es el único exponente tal que $a^x=a$
Por tanto, $1=\log_aa$

5 Pruebas basadas en la definición del logaritmo natural por medio de una integral

Un desarrollo distinto se puede dar al definir la función logaritmo natural mediante una integral.

Definición

La función logaritmo natural se define como

$$\ln x=\int_1^x \frac{1}{t}dt, \; \text{ para }x>0$$
Definido el logaritmo de esta manera, se empieza las demostraciones por la última propiedad. La prueba es inmediata de la propia definición
$$\ln 1=\int_1^1 \frac{1}{t}dt =0$$
No hay área.
Así pues tenemos $$\ln 1=0$$
Para demostraciones de las leyes 1 y 3 de los logaritmos se usa la siguiente

Proposición

Sean $f$ y $g$ funciones derivables tal que $f´(x)=g´(x)$. Entonces

$$f (x) =g(x)+C$$
La versión de la regla de la cadena para logaritmo compuesto con función también es usada en estas demostraciones
$$ \left( \ln \left( f(x) \right)\right)´= \frac{1 }{f(x )}f´(x)$$
Prueba:
Definimos
$$f(x)=\ln(ux) \; \; \text{ y } \; \; g(x)=\ln(u)+\ln(x)$$
Derivando y simplificando tenemos que tenemos que
$$f´(x)=\frac{1 } {ux }\cdot u= \frac{1 } {x }=g´(x)$$
Así
$$f(x)=g(x)+C$$
Esto es
$$ \ln(u x) =\ln(u)+ \ln(x)+C$$
Para calcular $C$ hacemos $x$ igual a $1$
$$\ln (u\cdot 1)= \ln(u)+ \ln(1)+C$$
Usando la propiedad 5, $\ln 1=0$ , tenemos
$\ln(u)=\ln(u)+C$. Así que $C=0$ y
$$ \ln(ux)=\ln u+\ln x $$
Ahora, haciendo $x=v$, llegamos al resultado
$$ \ln(uv)=\ln u+\ln v $$
Prueba:
Definimos
$$f(x)=\ln( x^r) \; \text{ y } \; g(x)=r\ln(x)$$
Tenemos que
$$f´(x)=\frac{1 } {ux }\cdot u= \frac{1 } {x }=g´(x)$$
Así
$$f(x)=g(x)+C$$
Esto es
$$ \ln x^r=r \ln(x)+C$$
Para calcular $C$ hacemos $x$ igual a $1$
$$\ln 1= \ln( 1)+C$$
Usando la propiedad 5, $\ln 1=0$ , tenemos
$$0=0+C$$
Así que, $C=0$ y
$$ \ln x^r=r \ln(x) $$
Ahora, haciendo $x=u$, obtenemos
$$ \ln u^r=r \ln(u) $$
La prueba de la ley del cociente es inmediata de las leyes del logaritmo de un producto y de una potencia.
$$\ln\left( \frac{u }{v} \right) =\ln\left( uv^{-1} \right)=\ln( u) + \ln\left( v^{-1} \right)= \ln( u) +(-1)\ln( v)$$
La demostración para logaritmos más generales, asume la definición de estos logaritmos y de la fórmula de cambio a la base $e$.