Gráficas con funciones logarítmicas

Propiedades a partir de la gráfica


Las funciones logarítmicas, $y=\log_a(x)$, resultan tan importantes que conviene retener sus gráficas. Éstas se diferencian sustancialmente para $a > 1$ y para $a \lt 1$. Además, muchas de las características de las funciones logarítmicas se pueden visualizar en la gráfica de la función. Aquí presentaremos la forma básica de las gráficas de las funciones logarítmicas y las propiedades de éstas.

Se explican dos métodos para obtener un bosquejo de la gráfica de la función logarítmica de base $a$. El primer procedimiento se basa en graficar los puntos de una tabla de valores de la función logarítmica, luego unirlos con un trazo suave, indicando con flechas las tendencias de la gráfica. Otro método se basa en que ya conocida la gráfica de la función exponencial, la gráfica de su inversa, de la función logarítmica, se obtiene reflejando la gráfica de la exponencial con respecto a la recta $y=x$. Una vez que se tiene la gráfica de la función logarítmica se puede obtener la gráfica de otras funciones mediante desplazamientos, estiramientos, contracciones y reflexiones. Se tratan ejemplos de funciones logarítmicas combinadas con el valor absoluto

1 Gráficas de las funciones logarítmicas para bases mayores a 1

Gráficas para bases mayores a 1

Propiedades que pueden ser vistas en la gráfica

1) Dominio $\log_a=(0,\infty)$, Rango$=R$
2) Intersección con el eje $x$: $(1,0)$.
No tiene intersección con el eje $y$
3) La función es continua en todo su dominio. (Esto quiere decir que podemos hacer el trazo de la gráfica sin levantar el lápiz.)
4) La función es creciente
5) El eje $y$ es una asíntota vertical de la función. Esto es, la recta $x=0$ es la asíntota vertical.
6) Los logaritmos con bases mayores a $1$ son positivos a partir de $1$ y negativos entre $0$ y $1$

2 Gráficas de las funciones logarítmicas para bases entre 0 y 1

Gráficas para bases entre 0 y 1

Propiedades que pueden ser vistas en la gráfica

1) Dominio $\log_a=(0,\infty)$, Rango$=R$
2) Intersección con el eje $x$: $(1,0)$.
No tiene intersección con el eje $y$
3) La función es continua en todo su dominio. (Esto quiere decir que podemos hacer el trazo de la gráfica sin levantar el lápiz.)
4) La función es decreciente
5) El eje $y$ es una asíntota vertical de la función. Esto es, la recta $x=0$ es la asíntota vertical.
6) Los logaritmos con bases mayores a $1$ son positivos a partir de $1$ y negativos entre $0$ y $1$

3 Gráfica de una función logarítmica obtenida por una tabla de valores

Obtener una tabla de valores de $y=\log_a(x)$ y graficar

Ya hemos mostrado las formas de las gráficas de las funciones logarítmicas, sin mostrar un procedimiento para obtener la gráfica. En estas secciones mostraremos dos procedimientos para obtener las gráficas de estas funciones.
El primer método que emplearemos es el de la construcción de una tabla de valores de la función que represente el comportamiento de la función, representar los puntos en el plano y luego trazar una curva suave que una los puntos
Sin necesidad de la calculadora, basándonos en que la función logarítmica es la inversa de la función exponencial, podemos obtener una tabla de valores para la función logarítmica. La idea es obtener una tabla de valores de $y=a^x$, entonces invertir $y$ y $x$, obteniendo así una tabla de valores para la función logarítmica.

Ejemplo Obtener una tabla de valores de $y=\log_2(x)$ a partir de la tabla de valores de su inversa.

Bosquejar la gráfica de $y=\log_2(x)$ a partir de los puntos de la tabla de valores.

Paso 1 Obtener una tabla de valores de $y=2^x$
Tabla de valores de la exponencial
Paso 2 Intercambiar las columnas
Tabla de valores con columnas intercambiadas
Paso 3 Sustituir $x$ por $y$ y $y$ por $x$. Así se obtiene una tabla de valores de la función inversa de $y=2^x$, esta es $y=\log_2(x)$
Tabla de valores del logaritmo
Paso 4 Representar los puntos
Gráfica de los puntos
Paso 5 Unir con un trazo suave, prolongando y dibujando flechas para indicar la tendencia de la curva
Gráfica de la función logaritmica

Ejemplo Obtener una tabla de valores de $y=\log_{\frac{1}{3}}(x)$ a partir de la tabla de valores de su inversa.

Bosquejar la gráfica de $y=\log_{\frac{1}{3}}(x)$ a partir de los puntos de la tabla de valores.

Paso 1 Obtener una tabla de valores de $y=\left( \frac{1}{3} \right)^x$
Tabla de valores de la exponencial
Paso 2 Intercambiar las columnas
Tabla con columnas intercambiadas
Paso 3 Sustituir $x$ por $y$ y $y$ por $x$. Así se obtiene una tabla de valores de la función inversa de $y=\left( \frac{1}{3} \right)^x$, esta es $\log_{\frac{1}{3}}(x)$
Tabla de valores de la logaritmica
Paso 4 Representar los puntos
Gráfica de los puntos
Paso 5 Unir con un trazo suave, prolongando y dibujando flechas para indicar la tendencia de la curva
Gráfica de la función

4 Obtención de la gráfica de una función logarítmica a partir de la gráfica de su inversa

Graficar $y=a^x$ y reflejar con respecto a la recta $y=x$

Vamos a usar el hecho que si tenemos la gráfica de una función $y=f(x)$, podemos obtener la gráfica de su función inversa $y=f^{-1 }(x)$, reflejando la gráfica de $y=f(x)$ con respecto a la recta $y=x$.
Asumiendo conocida la gráfica de $y=a^x$ y sabiendo que la función inversa de $y=a^x$ es la función logarítmica de base $a$, $y=\log_a(x)$, vamos a bosquejar la gráfica de esta última, con $a>1$, reflejando la gráfica de la exponencial con respecto a la recta $y=x$.
Gráfica de la exponencial que se va a reflejar sobre la recta y=x
Gráfica de la función logaritmica obtenida por reflexión
Pasa el cursor sobre la imagen para ver más detalles.
El punto $(0,1)$ de la gráfica de la exponencial se refleja con respecto a la recta $y=x$ en el punto $(1,0)$.
El punto $(1,a)$ de la gráfica de la exponencial se refleja con respecto a la recta $y=x$ en el punto $(a,1)$.
ILogG3a
La asíntota en la exponencial es el eje $x$ hacia la dirección negativa del eje, con valores positivos de $y$
La asíntota de la función logarítmica es el eje $y$ hacia la dirección negativa del eje, con valores positivos de $x$.
Si rotamos el plano se puede ver que la gráfica de la exponencial es simétrica al del logaritmo con respecto a la nueva horizontal.
ILogG3d

5 Descripción comparativa entre gráficas de funciones logarítmicas de base $a$ mayores a $1$

Aun cuando el bosquejo de este tipo de gráfica es similar, hay ciertas diferencias entre ellas. Para valores $a$ grandes se tienen gráficas que se pegan más a la asíntota vertical, (en las exponenciales se pegaban más rápido a la asíntota horizontal). Después de $x=1,$ las gráficas crecen muy lentamente. Siendo el crecimiento menor a medida que $a$ aumenta. Abajo mostramos en un mismo plano las gráficas de las funciones logarítmicas con bases $a=2$ y $a=3$

Comparar gráficas para bases mayores a 1

Comparaciones

Las dos gráficas pasan por $(1,0)$
La gráfica para $a=3$ se pega más rápido a la asíntota
Después de $x=1$, las gráficas crecen lentamente, siendo ligeramente mayor el crecimiento de $y=\log_2(x)$.
La gráfica de $y=\log_2(x)$ está por encima de la gráfica de $y=\log_3(x)$ para $x>1$ y por debajo entre $0$ y $1$.
De aquí, $\log_2(x)\gt \log_3(x)$ para $x \gt 1$.
$\log_2(x)\lt \log_3(x)$ para $0\lt x \lt 1$.

6 Gráficas de funciones tipo $y=a\log_a(bx+c)+k$

Sus propiedades

Mediante operaciones de desplazamientos o traslaciones junto con reflexiones y estiramiento o contracciones de la gráfica de $y=\log_a(x)$ podemos obtener gráficas del funciones del tipo $y=a\log_a(bx+c)+k$
Una recomendación para obtener la gráfica a través de traslaciones, alargamientos y reflexiones es considerar primero la operación con la asíntota y los puntos en que se irán moviendo los puntos originales $(1,0)$ y $(1,a)$.
Mostramos dos ejemplos en que se pide la gráfica de dos funciones y señalar entre otras características las intersecciones con los ejes. En el primer ejemplo se puede determinar viendo la gráfica, en el segundo ejemplo uno de ellos se tiene que determinar analíticamente.

Ejemplo Trace la gráfica de $y=-\log_2(x-3)$. Señale a partir de la gráfica: el dominio, rango, intersecciones con los ejes, si es creciente o decreciente y la asíntota de la función.

Solución:
Con dos operaciones se puede obtener la gráfica de la función. Se tiene dos maneras de proceder
Primer procedimiento La siguiente secuencia lleva a la función a graficar
$$f(x)=\log_2(x) \; \Rightarrow \;f_1(x)=f(x-3) \; \Rightarrow \;f_2(x)=-f_1(x)$$
Efectivamente,
$$f(x)=\log_2(x) \; \Rightarrow \;f_1(x)=\log_2(x-3) \; \Rightarrow \;f_2(x)=-\log_2(x-3)$$
ILogG4a
Segundo procedimiento Definimos las siguientes funciones
$$f(x)=\log_2(x) \; \Rightarrow \;g_1(x)=-f(x) \; \Rightarrow \;g_2(x)=g_1(x-3)$$
Puede confirmar al efectuar las operaciones con funciones que se obtiene la función a graficar
Sucesión de gráficas
1) Dominio $\log_a=(3,\infty)\; \;$, Rango$=R$
2) Interseccesión con el eje $x$: $(4,0)$.

No tiene intersección con el eje $y$

3) La función es decreciente
4) La recta $x=3$ es una asíntota vertical de la función.
ILogG4c

Ejemplo Trace la gráfica de $y=\ln(2-x)$. Señale a partir de la gráfica: el dominio, rango, si es creciente o decreciente y la asíntota de la función. Encuentre las intersecciones con los ejes que se puedan determinar de manera inmediata a partir de la gráfica.

Solución:
Con dos operaciones se puede obtener la gráfica de la función. Se tiene dos maneras de proceder
Primer procedimiento Definimos las siguientes funciones
$$f(x)=\log_2(x) \; \Rightarrow \;f_1(x)=f(-x) \; \Rightarrow \;f_2(x)=f_1(x-2)$$
Efectivamente se obtiene la función a graficar, verificamos
$f_1(x)=\ln(-x) \; $

$ f_2(x)=f_1(x-2)=\ln(-(x-2))=\ln(-x+2)$

ILogG5a
Segundo procedimiento Al definir

$$f(x)=\ln(x) \; \Rightarrow \;g_1(x)=f(x+2) \; \Rightarrow \;g_2(x)=g_1(-x)$$

Llegamos a la función a graficar. Puede confirmarlo
Observe que la gráfica $g_2$ a partir de $g_1$ se obtiene reflejando con respecto al eje $y$. La asíntota se refleja con respecto al eje $y$, obteniendo la recta $x=2$.
ILogG5b
1) Dominio $=(-\infty,2)\;$ Rango$=R$
2) Interseccesión con el eje $x$: $(1,0)$.

Tiene intersección con el eje $y$. Se determina analíticamente

3) La función es decreciente
4) La recta $x=2$ es una asíntota vertical de la función.
ILogG5c

Ejemplo Encontrar la intersección de $y=\ln(2-x)$ con el eje $y$ analíticamente

Solución:
Se sustituye $x$ por $0$ en la ecuación y se determina $y$.
$y=\ln(2-0)$
$y=\ln 2$
El corte con el eje $y$ es el punto $(0,\ln2)$

7 Gráficas de funciones logarítmicas combinadas con valor absoluto

Trataremos dos técnicas para graficar funciones en que aparecen un logaritmo combinado con valor absoluto. Un procedimiento se basa en aplicar la definición de valor absoluto, el otro procedimiento se aplica a funciones del tipo $y=|g(x)|,$ se mira el valor absoluto como una transformación a la función $y=g(x)$, teniendo un efecto geométrico en la gráfica de $g$,

Aplicando definición del valor absoluto

Para graficar funciones con valores absolutos podemos primero eliminar los valores absolutos aplicando la definición, expresando la función como una función definida por tramos o partes. Entonces graficar la función definida por partes.

Ejemplo Trace la gráfica de $y=\ln(|x-1|)$.

Solución:
Aplicamos la definición de valor absoluto, expresando la función como una definida por partes.
$$f(x)= \begin{cases}\ln(x-1), & \text{ si } x-1>0 \\ \ln \left(-(x-1)\right), & \text{ si } x-1\lt 0 \end{cases} $$ Esto es, $f(x)= \begin{cases} \ln(x-1), & \text{ si } x>1 \\ \ln \left(-(x-1)\right), & \text{ si } x\lt 1 \end{cases} $
Trazamos en un mismo plano la gráfica de $y=\ln(x-1)$ para $x>1\;$ y $\;y=\ln \left(-(x-1)\right)$ para $ x\lt 1 $
La primera se obtiene por un corrimiento hacia la derecha de $y=\ln x$ de una unidad. La segunda por una traslación hacia la derecha de una unidad de $y=\ln x$ seguida de una reflexión con respecto al eje $y$
ILogG6a
Pasa el puntero sobre la imagen para detallar la gráfica de cada parte

Valor absoluto como operación geométrica

Otra manera de graficar funciones del tipo $f(x)=|g(x)|$ es considerar que la gráfica de $f$ puede ser obtenida de la gráfica de $g$ mediante una operación geométrica. Esta es: Los puntos de la gráfica de $ g$ que están por debajo del eje $x$ se reflejan con respecto a este eje. Los puntos que están por encima quedan igual.

Ejemplo Trace la gráfica de $y=|\ln(x+2)|$. Escriba las principales características de la función a partir de la gráfica.

Solución:
ILogG7a
Pasa el puntero sobre la imagen para detallar como la curva se divide en los puntos en que sus coordenadas $y$ son negativos y en los que son positivas.
ILogG7aa
Pasa el puntero sobre la imagen para detallar cuáles son los puntos que se han reflexionado con respecto al eje $x$
Características
1) Dominio $(-2,\infty).\;$ Rango $=(0,\infty).$
2) La función decrece en el intervalo $(-2,0)$. Crece en $(0,\infty)$.
3) La intersección con el eje $x$ es el punto $(-1,0)$.
La intersección con el eje $y$ se determina analíticamente, sustituyendo $x$ por 0. El punto de intersección es $(0,\ln 2).$
4) $x=-2$ es una asíntota vertical de la gráfica de la función.

8 Ejercicios

Ejercicios Trace la gráfica de cada una de las siguientes funciones y específique dominio, rango, asíntotas e intersecciones con los ejes que puedan ser visualizadas en la gráfica

a) $y=|\ln(x+2)|+3$

b) $y=\ln|x+2|+3$

c) $y=-\ln|x+2|+3$

d) $y=\left |1-\ln(x+2)\right |$

a)
ILogG8a
b)
ILogG8b
c)
ILogG8c
d)
ILogG8d