Funciones logarítmicas y logaritmos


1 Definición de la función logarítmica y del logaritmo en base $a$

Para $a>1$ o bien para $ a\in (0,1)$ se tiene que la función exponencial de base $a$, $f(x)=a^x$, es uno a uno (inyectiva) y por tanto, tiene función inversa. En vez de denotar la función inversa por $f^{-1}$ usaremos el símbolo especial $\log_a$ y la función la llamaremos la función logarítmica de base $a$.

Se define la función logarítmica de base $a$, denotada por $\log_a$, a la función inversa de la función exponencial $f:R\rightarrow (0,\infty), \;$ $f(x)=a^x$.
$\log_2(5) $ es el valor de la función logarítmica de base $2$ en $5$. Este valor lo llamamos el logaritmo de base $2$ en $5$.

El valor de la función logarítmica en base $a$ en $x$ es denotado por $\log_a(x)$ y llamado el logaritmo de $x$ con base $a$.


2 Dos identidades

Vamos a establecer dos identidades básicas de los logaritmos. Ellas se deducen del hecho que la inversa de la función exponencial es la función logarítmica.

Hay distintas maneras de definir la función inversa de $f$. Nosotros nos basaremos en la siguiente definición de la función inversa $f^{-1}$ de $f$.


Definición Sea $f: A \rightarrow B$, una función uno a uno, con rango $B$. $f^{-1}$ es la función inversa de $f$ si

a) $f(f^{-1}(x))=x$ para cada $x$ en el recorrido de $f$

y

b) $f^{-1}(f(x))=x$ para cada $x$ en el dominio de $f$


Al aplicar la parte a de la definición a la función $f(x)=a^x$ y su inversa $f^{-1}=\log_a(x)$, obtenemos la siguiente identidad
$$ \; x=a^{\log_a x }\;$$
Sustituimos, primero $f^{-1}$ en a)
$f(\log_a(x))=x$
Ahora evaluamos $f$ en el lado izquierdo
$a^{\log_a(x) }=x$
Al aplicar la parte b de la definición a la función $f(x)=a^x$ y su inversa $f^{-1}=\log_a(x)$, obtenemos esta otra identidad
$$ \; x=\log_a(a^x) \; $$
Sustituimos, primero $f$ en b)
$f^{-1}(a^x)=x$
Ahora evaluamos $f^{-1}$ en el lado izquierdo
$\log_a(a^x) =x$

3 Relación entre el logaritmo y la exponencial.

Interpretación del logaritmo

En las identidades dadas, $x$ es una variables muda. Puede representar un número o una expresión más complicada. Así que podemos escribir las identidades como sigue
$$a^{\log_a h }=h \; \; \text{ y } \; \; \log_a(a^h)=h $$
Pensando en el logaritmo y la exponencial como operaciones inversas una de la otra, recordamos con facilidad estas igualdades.
En la primera identidad decimos que la exponencial deshace lo que el logaritmo le hizo a $h$. En la segunda identidad decimos que el logaritmo deshace lo que la exponencial le hizo a $h$.

La relación entre la función logarítmica y exponencial parten que una es la inversa de la otra. Veamos otra forma de ver los logaritmos, vista ahora desde una relación de equivalencia entre la función exponencial y su inversa..

En términos generales tenemos que si $f: A \rightarrow B$ es una función inyectiva y $f^{-1 }$ es la inversa de $f$, se tiene que $$y=f^{-1 }(x) \; \text{ si y sólo si } \; x=f(y)$$ y $f^{-1 }: B\rightarrow A.$

Vamos a expresar esta relación en términos de la función exponencial de base $a$, $ f(x)=a^x$ y su inversa, la función logarítmica de base $a$.
$$y=\log_a(x) \; \text{ si y sólo si } \; x=a^y$$
y como $f: R \rightarrow (0,\infty)$ entonces $\log_a:(0,\infty) \rightarrow R$
En la relación de equivalencia vemos que $y$ es igual al logaritmo y en la otra ecuación es el exponente. La base de la ecuación logarítmica coincide con la base de la exponencial. Así vemos que en palabras

El logaritmo de un número es el exponente

al que hay que elevar la base para obtener el número.

En la definición de la función logarítmica se establece el dominio y rango de la función:
Dom $\log_a =(0,\infty)$ y Rango $\log_a =$R
Así que los logaritmos de números negativos no están definidos. Tampoco el logaritmo de cero.

4 Más sobre notaciones de logaritmos

Cuando no hay ambigüedad, se omite los paréntesis, $\log_a x= \log_a(x)$. Si la función logarítmica es evaluada en una suma, diferencia o producto es necesario los paréntesis. El logaritmo como operador tiene mayor jerarquía que la suma, resta y multiplicación. $$\log_a(x+1)\ne \log_a x+1$$

Observe que $\log_a x+1=\log_a(x)+1$. La función logarítmica es evaluada en $x$ y luego se suma la unidad.


Notaciones para funciones logarítmicas especiales

Si la base del logaritmo es $10$, se omite ésta en la escritura: $$\log x=\log_{10} x$$
Los logaritmos de base $10$ se los conoce como logaritmos decimales
Si la base del logaritmo es el número $e$, se escribe $\ln $ en vez de $\log_e$, esto es $$\ln x=\log_{e} x$$
Los logaritmos de base $e$ se los conoce como logaritmos naturales

5 Cálculo de algunas expresiones con logaritmos

Las identidades $a^{\log_a h }=h \; \; \text{ y } \; \; \log_a(a^h)=h $ permiten calcular determinadas expresiones con logaritmos.

Ejemplo Escriba sin logaritmos, de ser posible

a) $2^{\log_2 3 }$
Aplicamos la primera identidad, $a^{\log_a h }=h $,
a) $2^{\log_2 3}=3$
b) $3^{\log_3 (x+1) }$
Aplicamos la primera identidad, $a^{\log_a h }=h $,
b) $3^{\log_3 (x+1) }=x+1$
c) $5^{\log_3 5 }$
c) No se puede aplicar directamente la identidad, pues la base de la exponencial es distinta a la base del logaritmo.
Comentario: Reducir las bases del logaritmo y de la exponencial a una sola sin usar logaritmos no es posible. Si aplica la fórmula de cambio de base tampoco podrá deshacerse del logaritmo.

Ejemplo Escriba sin logaritmos, de ser posible

a) $\log_2 (2^4)$
Aplicamos la identidad $\log_a(a^h)=h$ directamente
a) $\log_2 (2^4)=4$
b) $\log_3 (3^{x^2})$
Aplicamos la identidad $\log_a(a^h)=h$ directamente
b) $\log_3 (3^{x^2})=x^2$
c) $\log_3 (9^5)$
c) Las bases de la exponencial y del logaritmo no coinciden, pero es posible expresar $9^5$ en base $3$
$\log_3 (9^5)=\log_3 ((3^2)^5) $
$=\log_3 \left(3^{10} \right) $ Potencia de una potencia
$=10 $ Por la identidad
En la última parte del ejercicio vimos cómo pueden ser usadas las propiedades de los exponentes para poder así aplicar la identidad. Veamos otro ejemplo de cómo pueden ser usadas las propiedades de los exponentes para preparar la expresión a fin de aplicar la identidad elemental.

Ejemplo Escriba sin logaritmos, de ser posible

a) $e^{2\ln (x^2+1)}$
No tenemos la expresión $a^{\log_a h}$. Aplicamos propiedades de los exponentes para conseguirla.
$ e^{2\ln (x^2+1)}= \left( e^{\ln (x^2+1)} \right)^2$ Potencia de una potencia
Aplicamos la identidad a la expresión entre paréntesis
$= \left( x^2+1 \right)^2$
b) $e^{\ln x-\ln(x+1)}$
Aplicamos la propiedad del cociente de potencias con la misma base, de derecha a izquierda, $\frac{a^b}{a^c}=a^{b-c}$
$e^{\ln x-\ln(x+1)}= \frac{e^{\ln x}}{ e^{\ln(x+1)}}$
Aplicamos la identidad dos veces, en el numerador y en el denominador
$= \frac{ x}{ x+1}$

5 Ejecicios

Ejercicios Escriba sin logaritmos, de ser posible

a) $\; 2^{\log_2(x-1)}$

b) $ \; 3^{\log_35} $

c) $\; \log (0,01) $

d) $\; e^{2\ln (x+1)+4\ln(x+3)} $

d) $\; 2^{\frac{\log_2 (x+1)}{2}} $

Respuestas
a) $ \; x-1 $
b) $ \; 5 $
c) $\; -2 $
d) $ (x+1)^2(x+3)^4 $
e) $ 2^{\log_2 (x+1)\cdot \frac{1}{2}}=\left( 2^{\log_2 (x+1)}\right)^{\frac{1}{2}} =\sqrt{x+1} $ (usar notación de exponentes fraccionarios)