Escribir un logaritmo en términos de logaritmos más sencillos

Expandir un logaritmo


Introducción. Un primer ejemplo

En ocasiones se tiene un logaritmo de una expresión que es un producto, cociente o potencia y se quiere escribir como una suma y/o diferencia de múltiplos de logaritmos más sencillos. Este proceso llamado expandir o desarrollar un logaritmo es útil cuando se requiere encontrar la derivada de un logaritmo: se recomienda preparar la función encontrando otra equivalente más fácil de derivar.

Por ejemplo, la expresión $\log\left( \frac{x+1 }{x-3 }\right)$ es el logaritmo de un cociente, se puede aplicar la ley respectiva, es la diferencia de los logaritmos:

$$\log\left( \frac{x+1 }{x-3 }\right)= \log(x+1)-\log(x-3)$$ En el miembro derecho se tiene ahora dos logaritmos, pero ahora de expresiones más sencillas que la del logaritmo de la izquierda.

Fundamentalmente, para escribir una expresión como un logaritmo se aplican las propiedades de los logaritmos del producto, cociente y potencia:
$\log(ab)= \log(a)+\log(b)$
$\log\left(\frac{a}{b}\right)=\log(a)-\log(b)$
$\log(a^r)=r\log(a)$

2 Recomendaciones para expandir un logaritmo

Es importante identificar el argumento del logaritmo: Si es un producto, cociente o potencia se puede aplicar la ley respectiva.

Si es una raíz, se escribe primero como potencia y luego se aplica la ley respectiva.
Una vez que se aplica una ley pueden quedar uno o varios logaritmos de productos, cocientes o potencias. Entonces, en el siguiente paso, a cada uno se lo considera aparte, aplicándole la ley respectiva.
Al seguir expandiendo, puede haber un coeficiente, entonces tome en cuenta si son necesarios los paréntesis. $c\log(xy)=c\left(\log x +\log y \right )$
Si se tiene un logaritmo de una suma o una diferencia y el argumento no se puede factorizar más entonces se completó el desarrollo de ese logaritmo.

3 Ejemplos

Observa en cada uno de los ejemplos dados la diferencia entre la parte a) y la parte b).

Ejemplo Escriba cada una de las expresiones dadas como una suma de términos en $ \log(x), \log(x-3)\; $ y $\;\log(x+1)$

a) $\log \left( x (x-3)(x+1)^2 \right) $
a) El argumento es un producto
$\log \left( x (x-3)(x+1)^2 \right) $
$=\log x + \log (x-3)+ \log(x+1)^2 $ Log. de un producto
$=\log x + \log (x-3)+ 2\log(x+1)$ Log. de una potencia
b) $\log \left( x (x-3)(x+1) \right)^2 $
b) El argumento es una potencia
$\log \left( x (x-3)(x+1) \right)^2 $
$=2\log \left( x (x-3)(x+1) \right) $ Logaritmo de una potencia
$=2 \left(\log x +\log (x-3)+ \log(x+1) \right) $ Log. de un producto

Ejemplo Escriba cada una de las expresiones dadas como una suma de términos en $ \ln(x), \ln(x-3)\;$ y $ \; \ln(x+1)$

a) $\ln \left( \frac{x(x-3)^3}{ x+1 } \right) $
a) El argumento es un cociente
$\ln \left( \frac{x(x-3)^3}{ x+1 } \right) $
$= \ln \left(x(x-3)^3 \right) -\ln ( x+1 )$ Logaritmo de un cociente
$= \ln x + \ln \left(x-3)^3 \right) -\ln ( x+1 )$ Log. de un producto
$= \ln x + 3\ln (x-3) -\ln ( x+1 )$ Logaritmo de una potencia
b) $\ln \left( \frac{x(x-3)}{ x+1 } \right)^3 $
El argumento es una potencia
$\ln \left( \frac{x(x-3)}{ x+1 } \right)^3 $
$=3\ln \left( \frac{x(x-3)}{ x+1 } \right)$ Logaritmo de una potencia
$=3 \left( \ln \left( x(x-3) \right) - \ln ( x+1 ) \right)$ Logaritmo de un cociente
$=3 \left( \ln x + \ln (x-3) - \ln ( x+1 ) \right)$ Log. de un producto

En el siguiente ejemplo veremos cómo tratar el caso en que aparezca una raíz dentro del logaritmo. Fundamentalmente, se reescribe la raíz, tomando bien en cuenta el radicando.

Ejemplo Escriba cada una de las expresiones dadas como una suma de términos en $ \log(x)\;$ y $\; \log(y)$

a) $\log \left( \sqrt{x}y \right) $
a) Escribimos la raíz como una potencia
$\log \left( \sqrt{x}y \right) =\log \left( x^{1/2}y \right) $
$=\log \left( x^{1/2}\right)+\log(y ) $ Logaritmo de un producto
$=\frac{1}{2}\log ( x)+\log(y ) $ Logaritmo de una potencia
b) $\log \left( \sqrt{xy} \right) $
b) Escribimos la raíz como una potencia
$\log \left( \sqrt{xy} \right) =\log \left( (xy)^{1/2} \right) $
$=\frac{1}{2}\log ( xy) $ Logaritmo de una potencia
$=\frac{1}{2}\left( \log ( x)+\log(y )\right) $ Logaritmo de un producto
$=\frac{1}{2} \log ( x)+\frac{1}{2}\log(y )\ $ Ley distributiva

4 Logaritmo de una suma o diferencia.

Factorizar

No se puede aplicar propiedades de los logaritmos directamente si se tiene el logaritmo de una suma o una diferencia. Pero se puede considerar factorizar el argumento. En el caso que se pueda factorizar se aplicaría luego la ley del logaritmo de un producto.

Ejemplo Factorice el argumento del logaritmo y exprese como una suma de términos en logaritmos más sencillos.

$\ln \left(x^3-x \right) $

Primero factorizamos completamente
$ \ln \left(x^3-x \right) =\ln \left(x(x^2-1) \right) $ Sacamos $x$ de factor común
$=\ln \left(x(x-1)(x+1) \right) $ Diferencia de cuadrados
Ya se terminó de factorizar. El argumento es un producto, aplicamos la ley del logaritmo de un producto, es la suma de los logaritmos
$\ln \left(x^3-x \right)=\ln x +\ln(x-1)+\ln(x+1) $

5 Ejecicios

Ejercicios Exprese en términos de $\log(x-1), \log(x-2)$ y $\log(x+1)$

a) $\; \mathrm{log}\left( {\left( x-2\right) }^{2}\,{\left( x-1\right) }^{3}\,\left( x+1\right) \right)$

b) $ \; \mathrm{log}\left( \frac{x+1}{\left( ( x-2)\,( x-1) \right)^{3}}\right) $

c) $\; \mathrm{log}\left( \left( x-1\right) \,\sqrt{\left( x-2\right) \,\left( x+1\right) }\right) $

d) $\; \mathrm{log}\left( \left( x-1\right) \,\sqrt{ {x}^{2}-1}\right) $

Respuestas
a) $\mathrm{log}\left( x+1\right) +3\,\mathrm{log}\left( x-1\right) +2\,\mathrm{log}\left( x-2\right) $
b) $ \mathrm{log}\left( x+1\right) -3\,\mathrm{log}\left( x-1\right) -3\,\mathrm{log}\left( x-2\right) $
c) $\mathrm{log}\left( x-1\right) + \frac{\mathrm{log}\left( x+1\right) }{2} + \frac{\mathrm{log}\left( x-2\right) }{2} $
d) $\frac{3\mathrm{log}\left( {x}-1\right) }{2}+\frac{\mathrm{log}\left( {x}+1\right) }{2} $