Logaritmos comunes y naturales


Hay funciones logarítmicas especiales por su uso frecuente, ellas son la función logarítmica de base $10$ y de base $e$. En este contenido estudiaremos sus gráficas y características más resaltantes.

1 Logaritmos decimales o comunes. Función logarítmica decimal

La función logarítmica decimal es la función logarítmica de base $10$. Los valores de la función son los logaritmos de base $10$
Los logaritmos de base 10 se llaman logaritmos comunes o decimales. Se abrevian como $\log (x)$. Esto es $$\log (x)=\log_{10} (x) $$
La función logarítmica decimal también es conocida como función logaritmo común.

1.1 Forma exponencial y logarítmica

Del hecho que la función logarítmica es la función inversa de la exponencial se tiene
$$y=\log(x) \; \text{ si y sólo si } \; x=10^y$$
La ecuación de la izquierda se llama la forma o expresión logarítmica decimal. La de la derecha la forma o expresión exponencial decimal.

Ejemplo Convertir a la expresión logarítmica $10^{3}=1000 $

Solución:
La base de la expresión exponencial es $10$, por tanto la base de la forma logarítmica es $10$.
El exponente es $3$. Como el logaritmo es el exponente, tenemos $$\log(1000)=3$$

Ejercicio resuelto Convertir a la expresión exponencial $$\log(2t)=z $$

Solución:
La base de la forma logarítmica es $10$, el logaritmo es $z$ . Como el logaritmo es el exponente, tenemos $10^z=2t$

1.2 Dominio y rango de la función logaritmo decimal

Del hecho que las funciones exponenciales tienen rango igual a $(0,\infty)$ y dominio todos los reales y que la función logarítmica es la función inversa de la exponencial de base 10 y por consiguiente el dominio de una es el rango de la otra, se tiene que
$$ \text{Dominio } \log_a =(0,\infty) \; \text{ y } \; \text{ Rango}=R $$

1.3 Una tabla de valores de la función logarítmica común

Sin necesidad de usar la calculadora y con la ventaja de obtener una tabla con valores representativos de la función logarítmica decimal, podemos proponer una tabla de valores obtenida a partir de la tabla de valores de su exponencial.
Tenemos que $y=\log(x) $ si y sólo si $x=10^y$. Vamos a construir una tabla de valores, proponiendo valores $y$ y calculando $x$.
Tabla de valores a partir de la exponencial
Presentamos la misma tabla, pero en la primera columna escribimos, como es usual, los valores de la variable $x$
Tabla de valores a partir de la exponencial xy

1.4 Gráfica de la función logaritmo decimal

Dibujamos los puntos de la tabla obtenida arriba
Dibujar los puntos
No pudimos representar todos los puntos. Pero estamos viendo la tendencia de la curva que une estos puntos. Unimos con un trazo suave estos puntos y extendemos la curva hacia donde vemos que sigue.
Unir los puntos
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1.5 Características de la función logarítmica decimal visualizadas en la gráfica

Algunas características de la función logarítmo decimal pueden ser deducidas de la propia definición, como el dominio de la función que es el rango de la función exponencial de base $10$. Pero a partir del gráfico podemos apreciar ésta y otras características que enunciamos a continuación:
1) Dominio $\log_a=(0,\infty)$, Rango$=R$
2) Intersección con el eje $x$: $(1,0)$.
No tiene intersección con el eje $y.$
3) La función es continua en todo su dominio. (Esto quiere decir que podemos hacer el trazo de la gráfica sin levantar el lápiz.)
4) La función es estrictamente creciente.
5) El eje $y$ es una asíntota vertical de la función. Esto es, la recta $x=0$ es la asíntota vertical.
6) Los logaritmos son positivos a partir de $1$ y negativos entre $0$ y $1$

1.6 Propiedades de los logaritmos comunes

Como los logaritmos comunes son logaritmos de base $10$, podemos escribir las propiedades ya vistas de los logaritmos en término de logaritmos de base $10$

Sean $u,v>0, \; r$ un número real .

Se tiene:

1) $ \; \; \log(uv)=\log u+\log v$
2) $ \; \; \log(\frac{u}{v})=\log u-\log v$
3) $ \; \; \log (u^r)=r\log u$
4) $ \; \;10^{\log v}=v\;$ y $\; \log (10^h)=h$

2 Logaritmos naturales o neperianos

Los logaritmos naturales o neperianos son los logaritmos de base $e$. Se abrevia como $\ln (x)$. Esto es $$\ln (x)= \log_e (x)$$
Recuerde que el número $e$ es un número irracional y vale aproximadamente $e \approx 2.7182$
Este número está presente en muchas aplicaciones.

2.1 Formas exponencial y logarítmica

La relación de equivalencia dada por el hecho que la función logarítmica natural es la inversa de la función exponencial natural, $f(x)=e^x$, está dada por
$$y=\ln(x) \; \text{ si y sólo si } \; x=e^y$$ y como $f: R \rightarrow (0,\infty)$ entonces $\ln:(0,\infty) \rightarrow R$

Ejemplo Convertir a la expresión logarítmica $$\ln x=2 $$

Solución:
Pasamos a la forma exponencial, la base del logaritmo es $e$, por tanto la base de la forma exponencial es $e$. El logaritmo es igual a $2$, el logaritmo es el exponente en la forma exponencial. $$e^2=x$$
Recuerde que la entrada del logaritmo, $x$, es la salida la forma exponencial.

Ejercicio resuelto Convertir $y=\ln(3x+1)$ a la expresión exponencial y de allí despejar $x.$

Solución:
La base del logaritmo es $e$, así la base de la forma exponencial es $e$.

$y$ es igual al logaritmo, por tanto $y$ es el exponente de la forma exponencial. Entonces la forma exponencial es

$$e^y=3x+1$$
Ahora despejamos $x$. Es una ecuación lineal o de primer grado en $x$.
$$e^y-1=3x$$ $$\boxed{\; x=\frac{e^y-1 }{ 3} \;}$$

2.2 Gráfica de la función logaritmo natural

La gráfica de esta función lo obtendremos por otro procedimiento al utilizado para la función logaritmo decimal. Usaremos el hecho que la gráfica de la función inversa de una función $f$ puede ser obtenida reflejando la gráfica de $f$ con respecto a la recta $y=x$.
Gráfica del logaritmo natural a partir de la exponencial
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ILogDN5a
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Rotando el plano 45º se puede apreciar la simetrías de las gráficas con respecto a la nueva horizontal.
ILogDN5b

2.3 Propiedades de la función logarítmo natural

Algunas propiedades de la función logarítmica de base $e$ y de los logaritmos naturales pueden ser deducidas a partir de la gráfica obtenida a partir de la gráfica de su inversa. Entre otras propiedades tenemos:
1) Dominio $\log_a=(0,\infty)$, Rango$=R$
2) Intersección con el eje $x$: $(1,0)$.
No tiene intersección con el eje $y$.
3) Pasa por el punto $(e,1)$.
4) La función es continua en todo su dominio. (Esto quiere decir que podemos hacer el trazo de la gráfica sin levantar el lápiz.)
5) La función es estrictamente creciente.
6) El eje $y$ es una asíntota vertical de la función. Esto es, la recta $x=0$ es la asíntota vertical.
7) Los logaritmos son positivos a partir de $1$ y negativos entre $0$ y $1$.