Formas exponenciales y logarítmicas

Pasar de una expresión a la otra


1 Forma exponencial y forma logarítmica

Del hecho que la función logarítmica de base $a$ es la función inversa de la función exponencial de base $a$ se tiene que $$y=\log_a(x) \; \text{ si y sólo si } \; x=a^y$$ La primera ecuación es conocida como la forma logarítmica y la segunda como la forma exponencial.

Por ejemplo, $y=\log_2(8)\; $ si y sólo si $\; 8=2^y$

Las dos ecuaciones son equivalentes.


2 Convertir una forma a la otra

Recomendaciones y ejemplos

Este proceso de pasar de una expresión a la otra equivalente lo podemos hacer con destreza si recordamos que

1) La base de la forma logarítmica es la misma que la de la exponencial. $$log_a(*)=**\; \text{ si y solo si } \; a^{**}=*$$
2) $y$ es el logaritmo ($y$ es igual a $\cdots $) en la forma logarítmica y es el exponente en la forma exponencial $$y=\log_a(*) \;\; \text{ si y sólo si } \;\; *=a^y$$

Ejemplo Convertir a la forma exponencial $\log_3\left ( \frac{1}{9} \right)=-2$

Solución

Primero identificar la base del logaritmo: $3$. Esta es la base de la forma exponencial
Segundo, ver el valor del logaritmo: $-2$. ( El logaritmo es igual a $-2$ ).
$-2$ es el exponente de la forma exponencial
Queda poco por discutir
La forma exponencial es
$$3^{-2}=\frac{1}{9}$$
Recuerda que el logaritmo es el exponente $\dots$. La base de la forma exponencial coincide con la base de la forma logarítmica.

Ejemplo Convertir a la forma logarítmica $10^{4}=10.000$

Solución

Primero identificar la base de la expresión exponencial: $10$. Ésta es la base de la forma logarítmica
Segundo, ver el exponente: $4$. Éste es el valor del logaritmo
$\log_*=4$
Queda claro el papel de $10.000$
La forma logarítmica es
$$\log_{10}(10.000)=4$$

3 Algunos usos de pasar de la forma logarítmica a la forma exponencial y viceversa

3.1 Evaluar algunos logaritmos

A partir de la forma $y=\log_2(8)$, queremos determinar el valor de $ \log_2(8)$.

Determinar $\log_2(8)$ es determinar el valor $y$ en la forma exponencial, $8=2^y.$

Entonces, primero expresamos $8$ como una potencia de base 2.

$8=2^3$

Lo sustituimos en la forma exponencial:

$2^3=2^y$

Como la función exponencial es inyectiva, se deduce entonces que $y=3$. Pero $y$ es el logaritmo.

Así concluimos que $\log_2(8)=3$.

Algunos logaritmos pueden ser determinados usando la relación de equivalencia entre la forma logarítmica y exponencial. Ya vimos un ejemplo, veamos otro

Ejemplo Evaluar $\log_2(32)$.

Solución

Primero definimos $y$ como el logaritmo: $y=\log_2(32)$.
Se quiere determinar $y$.
Tenemos una forma logarítmica, $y=\log_2(32)$, la convertimos a la forma exponencial y allí veremos quien es $y$.
La base de la forma logarítmica es 2, ésta es la base de la forma exponencial
El logaritmo es igual a $y$, el logaritmo es el exponente en la forma exponencial
Tenemos entonces que la expresión logarítmica es equivalente a la forma exponencial:
$$2^y=32$$
Para determinar $y$, primero expresamos $32$ como una potencia de $2$: $32=2^5$. Tenemos entonces
$$2^y=2^5$$
Vemos que $y=5$ es el único número que satisface esta relación, pues la función exponencial es inyectiva. Por tanto
$$5=\log_2(32)$$

3.2 Demostraciones de las propiedades de los logaritmos

Muchas de las propiedades de los logaritmos son demostradas usando de manera reiterada esta equivalencia entre las dos formas. Ver.


3.3 Resolver ecuaciones

Pasaremos a resolver ecuaciones que ya tienen la forma logarítmica con la incógnita en el argumento o en la base. También ecuaciones que ya tienen la forma exponencial con la incógnita en el exponente. La idea principal es pasarla a la otra forma y resolver la ecuación resultante.

Una ecuación con forma logarítmica y la variable en el argumento del logaritmo

Ecuaciones con forma logarítmica del tipo $\log_a(f(x))=k$, con $k$ constante, son posibles resolverlas al convertirlas a su forma exponencial $a^k=f(x)$ y pasar a resolver esta última.

Observe que en la ecuación de la forma exponencial la variable no está en el exponente.

Ejemplo Resolver $2=\log_3(2x-5)$

Solución

Llevamos la ecuación a su forma exponencial. La base es 3. El logaritmo es igual a $2$. Éste es el exponente en la forma exponencial.
$2=\log_3(2x-5)$
$3^2=2x-5$
Se resuelve está última ecuación, es lineal o de primer grado, se despeja la variable.
$9+5=2x$
$14=2x$
$\boxed{\; x=7\;}$

Una ecuación con forma exponencial con la variable en el exponente

Una ecuación con forma exponencial del tipo $a^{f(x)}=k$, con $k$ constante, puede ser resuelta al transformarla a su forma exponencial $\log_ak=f(x)$ y pasar a resolver esta última.

El logaritmo del lado izquierdo es una constante. La última ecuación no es logarítmica

Ejemplo Resolver $2^{3t+1}=5$

Solución

Llevamos la ecuación a su forma logarítmica. La base es 2, el exponente es $3t+1$, el logaritmo en la forma exponencial será esta expresión.
$2^{3t+1}=5$
$\log_2(5)=3t+1$
Se resuelve esta última ecuación, es lineal o de primer grado en la variable $t,$ se despeja la variable. $\log_2(5)$ es una constante.
$\log_2(5)-1=3t$
$\boxed{\; t=\frac{\log_2(5)-1 }{3 } \;}$

Ecuación con forma logarítmica con la incógnita en la base del logaritmo

Ecuaciones con forma logarítmica del tipo $\log_{g(x)}c=k$, con $k$ y $c$ constantes, también pueden ser resueltas al convertirlas a su forma exponencial $(g(x))^k=c$ y pasar a resolver esta última.

Ejemplo Resolver $\log_{2x}(5)=3$.

Solución

Llevamos la ecuación a su forma exponencial. La base es $2x$, el logaritmo es $3$, éste es el exponente en la forma exponencial.
$\log_{2x}(5)=3$
$(2x)^3=5$
Se resuelve está última ecuación, es cúbica. Como sólo hay un término en $x$, se puede resolver al aplicar raíz cúbica a ambos miembros.
$2x=\sqrt[3]{5}$
$\boxed{\; x=\frac{ \sqrt[3]{5}}{2} \;}$

3.4 Despejar una variable

En una ecuación con dos o más variables, se quiere expresar una en términos de las otras. Si la variable está en un exponente y la ecuación ya tiene la forma exponencial, entonces se lleva a la forma logarítmica, y de allí se aisla la variable de interes en una lado de la ecuación.

Ejemplo Despejar $w$ en la ecuación $z=2^{w+3}$

Solución

Llevamos la ecuación a su forma logarítmica. La base es 2, el exponente es $w+3,$ por tanto, el logaritmo es igual a $w+3$ en la forma logarítmica.
$z=2^{w+3}$
$\log_2(z)=w+3$
Se resuelve esta última ecuación, es lineal o de primer grado en la variable $w$, se despeja la variable. $\log_2(z)$ se trata como una constante.
$\log_2(z)-3=w$
$\boxed{\; w=\log_2(z)-3 \;}$

Si la variable a despejar está en el argumento del logaritmo y la ecuación ya tiene la forma logarítmica entonces se pasa a la forma exponencial y de allí se despeja la variable.

Ejemplo Despejar $x$ en la ecuación $y=\log_{10}(x^3-5)$

Solución

Convertimos la ecuación a su forma exponencial. La base es 10, el logaritmo es $y$, éste es el exponente en la forma exponencial.
$y=\log_{10}(x^3-5)$
$10^y=x^3-5$
Se resuelve esta última ecuación en $x$, se trata $10^y$ como una constante. Se puede llevar a la forma $x^3=k$, para luego tomar raíz cúbica a ambos miembros
$x^3-5=10^y$
$x^3=10^y+5$
$\boxed{\; x=\sqrt[3]{10^y+5} \;}$

4 Ejecicios

Ejercicios Convertir a la forma exponencial

a) $\log_2( 16 )=4 $

b) $\log_4(\frac{1}{4})=-1$

Respuestas
a) $\; \; 2^4=16 $
b) $\; \; 4^{-1}= \frac{1}{4} $

Ejercicios Convertir a la expresión logarítmica

a) $10^{-3}=0.001 $

b) $4^{1/2}=2 $

Respuestas
a) $\; \; \log_{10}(0.001 )=-3 $
b) $\; \; \log_4(2 )=\frac{1}{2} $

Ejercicios Pasa a la forma exponencial y resuelve cada una de las ecuaciones dadas

a) $\; \;\log_{x^2}(125)= 3 $

b) $ \; \; \log_{10}(x^2+36)=2 $

b) $ \; \; \log_{3}(3x-5)=2 $

Respuestas

a) $\; \; \left(x^2 \right)^3= 125 \; $
Conjunto solución $=\{ \pm \sqrt{5} \}$
b) $\; \;10^2=x^2+36 $
Conjunto solución$=\{\pm 8 \}$
c) $\; 3^2=3x-5 $
Conjunto solución$=\{ \frac{14}{3} \}$