Escribir como un solo logaritmo

Reducir a un logaritmo


Hay veces que se tiene una suma, diferencia o múltiplos constantes de logaritmos y conviene escribirlo como un logaritmo. Esto es, que la expresión a conseguir sea un solo logaritmo con coeficiente 1. Este proceso también es conocido como combinar, condensar o comprimir logaritmos. Para reducir a un único logaritmo iremos aplicando propiedades algebraicas y de logaritmos.

Introducción. Un primer ejemplo

La expresión $\log_2(x)+\log_2(x+1)$ es una suma, pero puede ser expresado como el logaritmo de una expresión, usando la ley del logaritmo del producto, aplicado de derecha a izquierda, pues se tiene el lado derecho de la propiedad, una suma de logaritmos.

$\log_2(x)+\log_2(x+1)=\log_2(x(x+1))$

Logramos expresar la suma de dos logaritmos como el logaritmo de una expresión.

Recomendaciones para contraer un logaritmo

Fundamentalmente para escribir una expresión como un logaritmo se aplican de manera reiterada las propiedades de los logaritmos del producto, cociente y potencia.

$log(a)+\log(b)=\log(ab)$
$log(a)-\log(b)=\log\left(\frac{a}{b}\right)$
$log(a^r)=r\log(a)$
Antes de aplicar la ley del producto o del cociente asegúrese que todos los coeficientes de los logaritmos son 1 o $-1$. Si no lo son, aplique antes la ley de la potencia.
Si hay varios términos negativos, puede sacar factor común $-1$, aplicar entonces la regla del producto para luego, en el siguiente paso, aplicar la regla del cociente.

2 Ejemplos

Mostramos el siguiente ejemplo. Puedes ver la estrategia marcada por pasos en el plan y la solución detallada en desarrollo

Ejemplo Escriba como el logaritmo de una expresión

$2\log(x)+3\log(x+2)-2\log(x-2)-3\log(x-1) $

Primero aplicar la ley del logaritmo de una potencia en los cuatros términos.
Segundo, agrupar los términos negativos, sacando factor común $-1$.
Tercero, aplicar en los dos bloque de sumas de logaritmos la ley del logaritmo de un producto: $$\log(a)+\log(b)=\log(ab)$$
Cuarto, aplicar la ley del logaritmo de un cociente $$\log(a)-\log(b)=\log(\frac{a}{b})$$
$2\log(x)+3\log(x+2)-2\log(x-2)-3\log(x-1) $
$=\log(x^2)+\log(x+2)^3-\log(x-2)^2-\log(x-1)^3 $ Log. de una potencia
$=\log(x^2)+\log(x+2)^3-\left(\log(x-2)^2+\log(x-1)^3\right) $ Factor común
$=\log\left(x^2(x+2)^3\right)-\log\left((x-2)^2(x-1)^3\right) $ Log. de un producto
$=\log\left( \frac{ x^2(x+2)^3}{(x-2)^2(x-1)^3}\right) $ Log. de un cociente

Recuerde:

Si tiene un término constante, lo puede expresar como un logaritmo, usando $c=\log_a a^c.$
Un término como $\frac{b\log_a x }{ c }$ puede ser escrito como $\frac{b}{c}\log_a x$. Entonces se puede aplicar la regla del logaritmo de una potencia, pasando $\frac{b}{c}$ como exponente del argumento. De allí se decide si conviene o no pasar la expresión del argumento a notación de radicales.

Ejemplo Escriba como el logaritmo de una expresión

$\log(x+1)+\frac{\log(x+2)}{3}-2$

Escribimos el segundo término como $c\cdot \log$ y el tercer término como un logaritmo: $2=\log 10^2$
$=\log(x+1)+\frac{1}{3} \log(x+2)-\log(10^2)$
Ahora a reducir a un logaritmo
$=\log(x+1)+\log(x+2)^{ \frac{1}{3} }-\log(10^2)$ Log. de una potencia
$=\log\left((x+1)(x+2)^{ \frac{1}{3} } \right)-\log(10^2)$ Log. de un producto
$=\log\left( \frac{ (x+1)\sqrt[3]{x+2 }} {100} \right)$ Logaritmo de un cociente

3 Algunos usos de la reducción a un logaritmo

Simplificación de expresiones

Al reducir a un solo logaritmo una suma de términos con logaritmos es posible, en ocasiones, simplificar la expresión. Pues una vez que está escrito como el logaritmo de un número o expresión, se simplifica el número o la expresión. Luego, se ve si conviene o no expandir el logaritmo resultante, tomando en cuenta $\log_aa=1$

Ejemplo Simplificar

$\log(5)+\log(18)-\log(3)$

$\log(5)+\log(18)-\log(3)=\log(\frac{90}{3})$ Reducir a un logaritmo
$=\log(30)$ Simplificar
$=\log(3\cdot 10)$ Expresar como producto
$=\log(3)+\log( 10)$ Expandir
$=\log(3)+1$

Ejemplo Simplificar la expresión usando propiedades de los logaritmos.

$2\log(15)+\log(36)-4\log(3)$

Llevaremos a un solo logaritmo de una cantidad, simplificamos, factorizamos buscando potencia de 10, finalmente volvemos aplicar propiedades de los logaritmos.
$2\log(15)+\log(36)-4\log(3)$
$=\log(15^2)+\log(36)-\log(3^4)$ Logaritmo de una potencia
$=\log\left(15^2\cdot 36\right)-\log(3^4)$ Logaritmo de un producto
$=\log\left(\frac{15^2\cdot 36}{3^4}\right)$ Logaritmo de un cociente
Ya llevamos a un logaritmo. Ahora simplificamos el argumento. Descomponemos en sus factores primos, buscamos potencia de la base y usamos las leyes de los exponentes.
$=\log\left(\frac{3^25^2\cdot 2^23^2}{3^4}\right)$
$=\log\left(5^22^2\right)$ Buscamos potencia de 10
$=\log\left(10^2\right)$
$=2\log\left(10\right)$ Log. de una potencia
$=2$ Usamos $\log 10=1$

Ejercicio resuelto Exprese sin usar logaritmos

$e^{3\ln x-2\ln5} $

La idea es llevar el exponente a un logaritmo, para entonces aplicar que la exponencial es la inversa del logaritmo: $e^{\ln u}=u$
Primero contraemos a un solo logaritmo
$e^{3\ln x-2\ln5}$
$ =e^{\ln x^3-\ln5^2}$ Logaritmo de una potencia
$ =e^{\ln\left( \frac{ x^3}{5^2}\right)}$ Logaritmo de un cociente
$ = \frac{ x^3}{5^2}$ Se usó $e^{\ln u}=u$

Resolver ecuaciones

Una ecuación con varios logaritmos se puede resolver si la llevamos a la forma un logaritmo igual a una constante o a la forma un logaritmo igual a otro con las misma base. Veamos un ejemplo.

Ejemplo Llevar la ecuación a la forma $\log(f(x))=1$ y resolverla

$3\log x-2\log 5=1$

Para llevarla a la forma pedida vamos a reducir el miembro izquierdo a un logaritmo
$\log x^3-\log 5^2=1$ Logaritmo de una potencia
$\log \frac{x^3}{5^2}=1$ Logaritmo de un cociente
Ya está en la forma pedida. Ahora la ecuación se resuelve planteando la forma exponencial o sencillamente recordando que el logaritmo de un número es igual a $1$ si y sólo si el número es $10$:
$ \frac{x^3}{5^2}=10$
Ahora resolvemos la ecuación resultante. Es de tipo polinomial muy sencilla. Para resolverla, se despeja la potencia y se toma raíz cúbica a ambos lados de la ecuación:
$x^3=10\cdot 5^2$
$x=\sqrt[3]{10\cdot 5^2}$
$x=5\sqrt[3]{2}$

4 Ejecicios

Ejercicios Reducir como el logaritmo de una expresión

a) $ \mathrm{log}\left( x+2\right) +\mathrm{log}\left( x+1\right) +\mathrm{log}\left( x\right)$

b) $ -\mathrm{log}\left( x+2\right) -3\,\mathrm{log}\left( x+1\right) +2\,\mathrm{log}\left( x\right) $

c) $ 3\left(2\,\mathrm{log}\left( x\right) -\mathrm{log}\left( x+2\right) -\mathrm{log}\left( x+1\right) \right) $

Respuestas
a) $ \mathrm{log}\left( x\,\left( x+1\right) \,\left( x+2\right) \right) $
b) $ \mathrm{log}\left( \frac{ {x}^{2}}{ {\left( x+1\right) }^{3}\,\left( x+2\right) }\right) $
c) $ \mathrm{log}\left( \frac{ {x}^{6}}{ {\left( x+1\right) }^{3}\,{\left( x+2\right) }^{3}}\right) $

Ejercicios Demuestre las siguientes igualdades

a) $2\,\mathrm{log}\left( 28\right) +\mathrm{log}\left( 25\right) -2\,\mathrm{log}\left( 14\right) =2$

b) $2\,\mathrm{log}\left( 144\right) -4\,\mathrm{log}\left( 36\right) +2\,\mathrm{log}\left( 18\right) = \mathrm{log}(4) $