Calcular logaritmos sin usar calculadoras y tablas

Distintos métodos


Presentamos distintos procedimientos para evaluar un logaritmo cuando el argumento del logaritmo tiene una relación de potencia con la base. Podemos usar la definición del logaritmo. También se puede determinar usando que $\log_aa^h=h$. Otra técnica rápida para evaluar algunos logaritmos usa la fórmula de cambio de base.

1 Usando la definición del logaritmo

Algunos logaritmos, $\log_a x $, en que $x$ puede ser expresado como potencia de $a$ pueden ser calculados usando la definición del logaritmo

Recuerda la definición del logaritmo basada en la inversa de la función exponencial $$y=\log_ax \;\text{ si y sólo si } \;a^y=x$$

Así que uno de los primeros pasos involucra pasar a la forma exponencial.

Pasos para determinar $\log_a x $ por definición

1) Definimos $y$ como $y=\log_ax$, $y$ es el valor a determinar

2) Usamos la definición del logaritmo para escribir $$a^y=x$$ Recuerda que el logaritmo, $y$, es el exponente (al que hay que elevar la base para obtener $x$)

3) Expresamos $x$ como potencia de $a$.

4) Determinamos el exponente. Usamos el hecho que la función exponencial es inyectiva, entonces se igualan los exponentes para determinar $y$

Veamos el siguiente ejemplo

Ejemplo Determinar $\log_2(32)$

1) Definimos $y=\log_232$
2) Usamos la definición del logaritmo, $y$ es el exponente, $2$ es la base. $$32=2^y$$
3) Expresamos $32$ como potencia de 2 $$2^5=2^y$$
4) Determinamos $y$, igualando los exponentes $$5=y$$
Esto es, $$\log_232=5$$

Si $a$ es una potencia de un número $b$, más sencillo, podemos expresar cada lado de la igualdad del paso 3 como potencias del número $b$, usando las propiedades de los exponentes

Ejemplo Calcular $\log_4\left(\frac {1}{16} \right)$

1) Definimos $y=\log_4\left(\frac {1}{16} \right)$

$y$ es el valor a determinar

2) Usamos la definición del logaritmo, $y$ es el exponente, $4$ es la base del logaritmo: $$\frac {1}{16} =4^y$$
3) Expresamos $\frac {1}{16} $ y $ 4$ como potencia de 2 $$ \frac {1}{2^4} =\left(2^2\right)^y$$ Usaremos la definición de exponente negativo en el lado izquierdo y la potencia de una potencia en el lado derecho $$ 2^{-4} =2^{2y}$$
4) Determinamos $y$, primero igualamos los exponentes $$-4=2y$$ Resolvemos la ecuación $$y=-2$$
$y$ es el logaritmo. Esto es, $$\log_4\left(\frac {1}{16} \right)=-2$$
También pudimos expresar 16 como potencia de base 4.

2 Usando propiedades

Es posible determinar algunos logaritmos, $\log_a x $, usando la identidad $\log_a(a^h)=h$, la idea es expresar el logaritmo como el logaritmo de $a^h$

Por ejemplo, $\log_2(2^5)=5$. Hemos determinado el valor de $\log_2(32) $ porque lo teníamos expresado como potencia de la base.

Algunas ideas a tomar en cuenta para expresar $ x $ como potencias de la base $a$

  • Si $x$ y $a$ son enteros, expresar $x$ como una potencia o una raíz de la base.
  • Si $x$ contiene un radical, ver si conviene pasar el radical a la notación de exponente racional.
  • Si se tiene un decimal, ver si conviene expresarlo como una fracción.
  • Si se tiene una fracción con numerador igual a 1, ver si conviene expresarlo como una potencia con exponente negativo.
Decimos ver si conviene porque en ocasiones evidentemente es mejor no efectuar este paso:
Por ejemplo, en $\log_{1/2}\left( \frac{1 }{8 }\right)$ se puede de una vez expresar $\frac{1 }{8 } $ como la potencia de la base:
$\log_{1/2}\left( \frac{1 }{8 }\right)=\log_{1/2}\left( \frac{1 }{2^3 }\right )= \log_{1/2}\left( \frac{1 }{2 }\right)^3=3 $

Ejemplo Calcular los logaritmos dados sin calculadora

a) $\log_3 (81)$
a) Expresamos como una potencia de 3
$\log_3 (81)=\log_3 \left(3^{4} \right) =4$
b) $\log_{10} (0,0001)$
b) Expresamos como una fracción, luego como una potencia de 10
$\log_{10} (0,0001)=\log_{10}\left(\frac{ 1 }{10.000 } \right)$
$=\log_{10}\left(\frac{ 1 }{10^4 } \right)$
$=\log_{10}\left(10^{-4} \right)$ Definición de exponente negativo
$ = -4$
c) $\log_4 (2)$
c) Expresamos $2$ en términos de $4$. En este caso usamos la radicación: $2=\sqrt{4}$. Luego usamos la definición de exponente racional.
$\log_4 (2)=\log_4(\sqrt{4})=\log_4( 4^{1/2})=\frac{1}{2}$
d) $\log_4 \left(\frac {1}{16} \right)$
d) Expresamos $16$ como una potencia de $4$. Luego aplicamos la definición de exponente negativo
$\log_4 \left(\frac {1}{16} \right)=\log_4 \left(\frac {1}{4^2} \right)=\log_4 \left(4^{-2 } \right)=-2 $
Las recomendaciones de arriba deben ser muy tomadas en cuenta en caso de $a>1$. E inspiran cómo proceder si la base está entre 0 y 1.

Ejemplo Calcular los logaritmos dados sin usar tablas ni calculadora

$\log_{1/3} (81)$
Aplicamos propiedades de los exponentes para lograr expresar como el logaritmo de una potencia de la base
$\log_{1/3} (81)=\log_{1/3}\left( \frac{ 3^4 }{1 }\right)$
$=\log_{1/3}\left( \frac{ 3 }{1 }\right)^4$
$=\log_{1/3}\left( \frac{ 1 }{3 }\right)^{-4}$ Propiedad de los exponentes negativos
$=-4$

3 Usando la fórmula de cambio de base

Cuando la base puede ser expresada como potencia de un número, $b$, más sencillo, aplicar la fórmula de base puede hacer el proceso de encontrar el logaritmo más rápido. $$\log_ax=\frac{\log_b x}{\log_ba}$$

Veamos el siguiente ejemplo

Ejemplo Determinar $\log_{1/3} (81)$

Cambiamos a base $3$
$\log_{1/3}(81)= \frac{\log_3 81}{\log_3 \frac{1}{3}}$
Expresamos $81$ y $\frac{1}{3}$ como potencia de $3$. En el denominador usamos la definición de exponente negativo
$=\frac{\log_3 3^4}{\log_3 3^{-1}}$
$=\frac{4}{-1}$ $=-4$

4 Ejercicios

Ejercicio Calcule los siguientes logaritmos sin calculadora

a) $\log_2( 512 ) $

b) $\log_4\left( \frac{1}{2}\right) $

c) $\log_8( 128 ) $

d) $\log_{1/9}\left( \frac{1}{243}\right) $

e) $\log_2( 0.125 ) $

f) $\log_{\sqrt{2}}\left( 16\right) $

g) $\log_{3}\left( \sqrt{27}\right) $

Respuestas
a) $\; \; 9 $
b) $\; \; - \frac{1}{2} $
c) $\; \; \frac{7}{3} $
d) $\; \; \frac{5}{2} $
e) $\; \; -3 $
f) $\; \; 8 $
g) $\; \; \frac{3}{2} $