Técnicas de transformaciones de gráficas de funciones

Dibujar la gráfica de una función $g(x)$ en base a otra conocida $f(x)$


A partir de la gráfica de una función básica se puede obtener la gráfica de una familia de funciones mediante operaciones geométricas elementales de traslación, reflexiones, estiramiento o contracciones.

1 Operaciones geométricas básicas

Suponga se tiene una función $f$ con gráfica conocida. Es posible obtener la gráfica de algunas funciones $g$ que se pueden definir a partir $f$ por una operación elemental, haciendo una transformación geométrica a la gráfica de $f$. A continuación mostramos un resumen de las principales técnicas de transformación de gráficas de funciones con gráficos conocidos para obtener la gráficas de funciones. Mostramos un ejemplo de cada técnica en base a la función elemental $f(x)=\sqrt{x}$ cuyo gráfico es conocido.

Traslaciones o desplazamientos verticales

$y=f(x)+k\;$ con $\; k>0$ $\uparrow$ Hacia arriba
Ejemplo $y=\sqrt{x}+2$
Traslación vertical
Pasa el cursor sobre la imagen para ver más detalles
La función $f(x)=\sqrt{x}$ la conocemos, la función $g(x)=\sqrt{x}+2$ puede ser vista como $g(x)= f(x)+2$. Al hacer una tabla de valores de cada una, vemos que para cada $x$, las coordenadas $y$ difieren en dos unidades. Al graficar los puntos de ambas tablas de valores nos damos cuenta que los puntos correspondientes a la función $g$ están dos unidades arriba de la función $f$. Esta relación ocurre para cualquier valor $x$ del dominio en común de ambas funciones. La gráfica de $f$ la conocemos completamente, la gráfica de $g$ tendrá entonces la misma forma pero ubicada dos unidades por encima de la gráfica de raíz cuadrada. Así que la función $g$ puede ser vista como un desplazamiento hacia arriba de dos unidades de la gráfica de $f$.

Traslación vertical IFTG1ab


$y=f(x)-k\;$ con $\;k>0$ $\downarrow$ Hacia abajo
Ejemplo $y=\sqrt{x}-2$
Traslación hacia abajo

Traslaciones o desplazamientos horizontales

$y=f(x-k)$ con $k>0$ $\rightarrow$ Hacia la derecha
Ejemplo $y=\sqrt{x-2}$
Desplazamiento hacia la derecha
Pasa el cursor sobre la imagen para ver más detalles

$y=f(x+k)$ con $k>0$ $\leftarrow$ Hacia la izquierda
Ejemplo $y=\sqrt{x+2}$
Desplazamiento hacia la izquierda

Reflexiones

$y=-f(x)$ Reflexión con el eje x Con respecto al eje $x$
Ejemplo $y=-\sqrt{x}$
Reflexión con el eje x
Pasa el cursor sobre la imagen para ver más detalles

$y=f(-x)$ Reflexión con el eje y Con respecto al eje $y$
Ejemplo $y=\sqrt{-x}$
Reflexión con el eje y
Pasa el cursor sobre la imagen para ver más detalles

Contracciones y estiramientos verticales

$y=cf(x)$ con $c>1$ Elongación vertical Estiramiento
Ejemplo $y=2\sqrt{x}$
Elongación vertical

$y=cf(x)$ con $0 \lt c \lt 1$ Se comprime la curva verticalmente Contracción vertical
Ejemplo $y=\frac{1}{2}\sqrt{x}$
Contracción
Pasa el cursor sobre la imagen para ver más detalles

Contracciones y estiramientos horizontales

$y=cf(x)$ con $c>1$ Se comprime la curva hacia el eje y Contracción horizontal
Ejemplo $y=\sqrt{2x}$
Se comprime la curva hacia el eje y
Pasa el cursor sobre la imagen para ver más detalles

$y=f(cx)$ con $0 \lt c \lt 1$ Se alarga la curva horizontalmente Estiramiento horizontal
Ejemplo $y=\sqrt{\frac{1}{2}x}$
Alargar
Pasa el cursor sobre la imagen para ver más detalles

2 Algunas funciones básicas y sus gráficas

Mostramos abajo las gráficas de tres funciones madres a partir de las que trabajaremos en este contenido.
Curva básica
Curva básica
El dominio de $y=\frac{1}{x}$ es el conjunto R$-\{ 0 \}.$
Pasa por los puntos $(1,1)$ y $(-1,-1).$
La gráfica de la función $y=\frac{1}{x}$ tiene dos asíntotas: el eje $x$ y el eje $y$. Las ecuaciones de estas rectas son $y=0$ y $x=0.$

Ejemplo Trazar la gráfica de $y=\frac{1}{x-2}$. A partir de la gráfica, obtener algunas características de la función.

Solución:
La gráfica de $y=\frac{1}{x-2}$ se obtiene por un desplazamiento hacia la derecha de $2$ unidades de la gráfica de $y=\frac{1}{x}.$
Primero trasladamos los puntos y la asíntota vertical. Observe que la asíntota horizontal de las dos gráficas coinciden.
IFTG10c1
Pasa el cursor sobre la imagen para ver más detalles
Se traza la gráfica sirviendo las asíntotas y los puntos características como guía.
Recuerde que la gráfica se acerca a sus asíntotas para valores grandes, en valor absoluto, de sus variables.
IFTG10d
Dominio de la función es el conjunto R$-\{ 2 \}$
Pasa por los puntos $(3,1)$ y $(1,-1)$
Las asíntotas son las rectas $x=2$ y $y=0$.

3 Comentarios sobre alargamientos y contracciones verticales, $y=af(x)$

  • Los puntos de intersección de la gráfica $y=f(x)$ con el eje $x$ coinciden con los de la gráfica $y=af(x)$, pues $y=a\cdot 0=0$
  • Si $a>1$, los puntos de la gráfica por encima del eje $y$ se estiran hacia arriba.
  • Los puntos de la gráfica por debajo del eje $y$ se estiran hacia abajo.
  • Si $0\lt a \lt 1$, los puntos de la gráfica por encima del eje $y$ se contraen hacia el eje $x$.
  • Los puntos de la gráfica por debajo del eje $y$ se contraen hacia el eje $x$.
Si $a=2$, para cada $x$ se tiene que la coordenada $y$ de $y=af(x)$ se duplica. Si $a=3$ se triplica.
Si $a=\frac{1}{2}$, para cada $x$ se tiene que la coordenada $y$ de $y=af(x)$ se reduce a la mitad. Si $a=\frac{1}{3}$ se reduce a la tercera parte.
Un programa sencillo de diseño gráfico puede ayudar a entender el efecto de comprimir una gráfica horizontalmente.

Ejemplo Usar un programa de diseño gráfico para visualizar cómo es el efecto de la contracción en la gráfica de $y=\frac{1}{2}x^3$

Aquí usaremos el programa PowerPoint. No hace falta que el estudiante domine lo que vamos a mostrar sino que entienda como puede proceder manualmente para comprimir una gráfica
Insertamos una curva que vamos moldeando hasta conseguir la forma $y=x^3$ en el primer cuadrante. Moldeamos el trozo de curva del tercer cuadrante.
IFTG10d1
Coloreamos de un color el trozo de curva por encima del eje $x$ y de otro color el que está por debajo.
IFTG10d2
Marcamos el trozo de curva, situamos el mouse encima de rectángulo marcado y con el mouse marcando la figura vamos reduciendo la figura llevando el mouse hacia abajo.
IFTG10d3
Hasta que alcancemos la mitad de la altura del rectángulo.
IFTG10d4
IFTG10d5
Efectuamos un procedimiento similar con el trozo de curva debajo del eje $x$.
Marcamos la curva, colocando el mouse en el extremo central inferior y encogemos el rectángulo hacia el eje $x$, hasta alcanzar la mitad.
IFTG10d6
IFTG10d7
Falta solo uniformizar el color de la curva
IFTG10d9
Gráfica de $y=\frac{1}{2}x^3$

4 Considerar reescribir la función antes de graficar

En algunas funciones en que se tiene contracciones o estiramientos horizontales es posible usar propiedades algebraicas que permitan reescribir la función para graficarlas como estiramientos o contracciones verticales.

Ejemplo Indique dos maneras de graficar cada una de las funciones dadas

A)$\; y=\sqrt{2x} $ a partir de la gráfica de $y=\sqrt{x} $
Solución A):
$y=\sqrt{2x} $
Definimos $f(x)=\sqrt{x}$

Primer procedimiento
La función a graficar es de la forma $y=f(2x)$. Se grafica comprimiendo horizontalmente a la mitad la gráfica $f(x)=\sqrt{x}$

Segundo procedimiento
Se reescribe la función. Usamos la propiedad de la raíz de un producto $y=\sqrt{2} \cdot \sqrt{x} $. Ahora la función está escrita en la forma $y=\sqrt{2} \cdot f(x)$. Se estira verticalmente la gráfica $f(x)=\sqrt{x}$ por un factor de $ \sqrt{2} $

B) $\;y=(2x)^3 $ a partir de la gráfica de $y=x^3 $
Solución B):
$y=(2x)^3 $
Definimos $f(x)=x^3$

Primer procedimiento
La función a graficar es de la forma $y=f(2x)$. La gráfica se obtiene comprimiendo horizontalmente a la mitad la gráfica de $y=x^3$.

Segundo procedimiento
Se reescribe la función. Usamos la propiedad de la potencia de un producto. $y=2^3\cdot x^3 $. La gráfica se obtiene estirando verticalmente la gráfica de $y=x^3$ por un factor de 8.

C) $\;y=\frac{1}{2x}$ a partir de la gráfica de $y=\frac{1}{x}$
Solución c):
$y=\frac{1}{2x}$
Definimos $f(x)=\frac{1}{x}$

Primer procedimiento
La función a graficar es de la forma $y=f(2x)$. La gráfica se obtiene comprimiendo horizontalmente a la mitad la gráfica de $f(x)=\frac{1}{x}$

Segundo procedimiento
Se reescribe la función. Se descompone como un producto de fracciones: $f(x)=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{x}$. Ahora está escrita en la forma $y= \frac{1}{2} f(x)$. Para conseguir la gráfica pedida se comprime verticalmente a la mitad la gráfica de $y= \frac{1}{x}$


Hay funciones $y=f(x)$ que no tienen la propiedad $f(rx)=kf(x)$, por ejemplo, $y=\cos(2x).$ Tampoco $y=\ln(2x)$, pero podemos usar para esta función las propiedades de los logaritmos para evitar conseguir la gráfica de la función por una compresión horizontal.

Ejemplo Indique dos maneras de graficar $y=\ln(2x)$ a partir de la gráfica de $y=\ln(x)$

Solución:
$y=\ln(2x)$
Definimos $f(x)=\ln(x)$

Primer procedimiento
La función a graficar es de la forma $y=f(2x)$. La gráfica se obtiene comprimiendo horizontalmente a la mitad la gráfica de $y=\ln(x)$.

Segundo procedimiento
Se reescribe la función. Usamos la propiedad del logaritmo de un producto:
$y=\ln(x)+\ln(2) $. La gráfica se obtiene trasladando hacia arriba la gráfica de $y=\ln(x)$ en $\ln(2)$ unidades.


5 Varias operaciones

Hemos obtenido la gráfica de $y=\sqrt{x-2}\;$ a partir de la gráfica de $y=\sqrt{x}$. La gráfica de $y=\sqrt{x-2}\;$ ya es conocida y podemos obtener otras gráficas a partir de ella.

Ejemplo Bosquejar la gráfica de $y=\sqrt{x-2}+3$ a partir de la gráfica de $y=\sqrt{x-2}$

Solución:
Si $g(x)=\sqrt{x-2}$. Podemos escribir la función $y=\sqrt{x-2}+3$ como $y=g(x)+3$. La gráfica se obtiene trasladando 3 unidades hacia arriba la gráfica de $y=\sqrt{x-2}$.
IFTG11a
Pasa el cursor sobre la imagen para ver más detalles
En definitiva, se ha obtenido la gráfica de $y=\sqrt{x-2}+3$ a partir de la gráfica $y=\sqrt{x}$ haciendo primero una traslación horizontal y luego una vertical. Es posible invertir el orden en que se realizan estas transformaciones.
Haz clic para ver otra manera de graficar $y=\sqrt{x-2}+3$ a partir de la gráfica $y=\sqrt{x}$
Si $h(x)=\sqrt{x}+3$. Podemos escribir $y=\sqrt{x-2}+3$ como $y=h(x-2)$.
La gráfica se obtiene trasladando la gráfica de $h(x)=\sqrt{x}+3$ hacia la derecha 2 unidades.
IFTG11d
Pasa el cursor sobre la imagen para ver más detalles

Cuando sólo hay traslaciones verticales y horizontales,

no importa el orden en que se tomen las transformaciones

Otra situación distinta es cuando se tienen que efectuar dilataciones, contracciones, reflexiones combinadas con traslaciones. Es necesario verificar que el orden en que se realicen las transformaciones lleven a la función a graficar.

Abajo un ejemplo de dos funciones que para graficarlas a partir de $y=x^2$ hay que hacer una traslación vertical de dos unidades y una reflexión con respecto al eje $x$. Dependiendo del orden en que se efectúen las transformaciones se obtiene funciones distintas.


Ejemplo Trazar la gráfica de cada función

a) $y=-x^2+2$ a partir de la gráfica de $y=x^2$
Solución A)
Definimos $g(x)=x^2$. Podemos escribir $y=-x^2$ como $y=-g(x)$. La gráfica de $y=-x^2$ se obtiene por una reflexión de la gráfica de $g(x)=x^2$.
La gráfica de $y=-x^2$ ya será conocida y a partir de ella podremos trazar la gráfica de $y=-x^2+2$, trasladando la gráfica de $y=-x^2$ hacia arriba en 2 unidades.
IFTG12a
Pasa el cursor sobre la imagen para ver más detalles
b) $y=-(x^2+2)$ a partir de la gráfica de $y=x^2$
Solución B)
Sea $g(x)=x^2$. Podemos escribir $y=x^2+2$ como $y=g(x)+2$. La gráfica de $y=x^2+2$ se obtiene trasladando en 2 unidades hacia arriba la gráfica de $y=x^2$.
La gráfica de $y=x^2+2$ ya será conocida y a partir de ella podemos trazar la gráfica de $y=-(x^2+2)$, reflejando la gráfica de $y=x^2+2$ con respecto al eje $x$.
IFTG12ba
Pasa el cursor sobre la imagen para ver más detalles

Observa que $y=-(x^2+2)$ puede ser escrita como $y=-x^2-2$, distinta a la función $y=-x^2+2.$

Cuando hay más de una operación convendrá definir una sucesión de funciones $g_1,g_2,\dots $, una definida por una operación elemental de la anterior, con $g_0$ la función básica, donde la última función es la función a graficar.
Muchas funciones no tienen una forma única de efectuar la sucesión de transformaciones para obtener la gráfica. Abajo mostramos un ejemplo donde la gráfica de la función se puede obtener por distintas sucesiones de transformaciones.

Ejemplo Bosquejar la gráfica de $y=2\sqrt{1-x}$.

Procedimiento 1
Para visualizar mejor escribimos $y=2\sqrt{-x+1}$.
Como vamos a graficar a partir de $y=\sqrt{x}$, definimos $g_0(x)=\sqrt{x}$
Las siguientes funciones marcarán el orden en que se irá operando las gráficas hasta obtener $y=2\sqrt{-x+1}$.
$g_1(x)=g_0(x+1)$. Esto es $g_1(x)=\sqrt{x+1}$
$g_2(x)=g_1(-x)$. Esto es $g_2(x)=\sqrt{-x+1}$
$g_3(x)=2g_2(x)$. Esto es $g_3(x)=2\sqrt{-x+1}$, la función a graficar
Así, tenemos los siguientes pasos para graficar $y=2\sqrt{-x+1}$:

Paso 1 Trasladar hacia la izquierda la gráfica de $y=\sqrt{x}$ en 1 unidad.

Paso 2 Reflejar con respecto al eje $y$ la gráfica anterior.

Paso 3 Estirar verticalmente al doble la gráfica obtenida en el paso anterior.

IFTG13aa
Pasa el cursor sobre la imagen para ver más detalles
Procedimiento 2
Para visualizar mejor escribimos $y=2\sqrt{-(x-1)}$.
Como vamos a graficar a partir de $y=\sqrt{x}$, definimos $g_0(x)=\sqrt{x}$
Definimos la sucesión de funciones que llega a la función $y=2\sqrt{-x+1}$
$g_1(x)=g_0(-x)$. Esto es $g_1(x)=\sqrt{-x}$
$g_2(x)=g_1(x-1)$. Esto es $g_2(x)=\sqrt{-(x-1)}$
$g_3(x)=2g_2(x)$. Esto es $g_3(x)=2\sqrt{-(x-1)}$, la función a graficar
Así, tenemos los siguientes pasos para graficar $y=2\sqrt{-x+1}$:

Paso 1 Reflejar la gráfica $y=\sqrt{x}$ con respecto al eje $y$.

Paso 2 Trasladar la gráfica anterior 1 unidad hacia la derecha.

Paso 3 Estirar verticalmente al doble la gráfica obtenida en el paso anterior.

IFTG13ba
Pasa el cursor sobre la imagen para ver más detalles