Gráficas de la función valor absoluto

y de funciones que la contienen


En principio presentamos la gráfica de la función valor absoluto o módulo, $f(x)=|x|$ obtenida por medio de una tabla de valores de la función. Luego, veremos distintas técnicas para graficar funciones con valores absolutos.

1 Gráfica de la función valor absoluto

Hay varios métodos para obtener la gráfica de la función absoluto. Nosotros en un principio la obtendremos por medio de una tabla de valores, representando los puntos y uniéndolos.
Tabla de valores
Gráfica de la función modulo
Tanto en el semiplano izquierdo al eje $y$, como en el derecho se tienen semirrectas, que se encuentran en el origen.

Comentario La función valor absoluto es una función par, esto es $f(-x)=f(x)$. Por tanto, su gráfica es simétrica con respecto al eje $y$. De aquí, pudimos obtener una tabla de valores para $x$ no negativos, trazar la gráfica para esta tabla de valores y entonces obtener el trozo de gráfica para $x$ negativos, reflejando la obtenida con respecto al eje $y$.

Tabla de valores para $x$ no negativos
Tabla para x positivos
La gráfica es simétrica con respecto al eje y
Representar los puntos $\Rightarrow\;\;$ Unir con un trazo $\Rightarrow\;\;$ Simetrizar

2 Gráfica de $y=a|bx+c|+k$ obtenida por transformaciones de la gráfica de $y=|x|$

Si se asume la gráfica de $y=|x|$ conocida, podemos obtener la gráfica de una familia de funciones por transformaciones de la gráfica de $y=|x|$ mediante traslaciones, reflexiones, estiramiento o contracciones. Vamos a repasar las transformaciones más frecuentes
Asuma conocida la gráfica de $y =f(x)$
Traslaciones verticales: $y=f(x)+k$

La gráfica $y=f(x)$ sube $k$ unidades si $k$ es positivo. Baja, si es negativo.

Desplazamientos verticales
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Traslaciones horizontales: $y=f(x+k)$

La gráfica $y=f(x)$ se traslada hacia la izquierda si $k$ es positivo y a la derecha si $k$ es negativo.

Desplazamientos horizontales
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Estiramientos y contracciones verticales: $y=f(x)+k$

La gráfica $y=f(x)$ se estira verticalmente en un factor $k$ si $k>1$ y se encoge verticalmente si $0\lt k \lt 1$.

Elongaciones y contracciones verticales
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Reflexión con respecto al eje $x$: $y=-f(x)$

La gráfica $y=f(x)$ se refleja con respecto al eje $x$.

Reflexión con respecto al eje x
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Podemos combinar las distintas operaciones para obtener las gráficas de funciones más complicadas.

Ejemplo Trazar la gráfica de $y=-|x+3|+1. $

Solución:
Vamos a obtener la gráfica de $y=-|x+3|+1 $ por transformaciones a la gráfica $g_0(x)=|x|$.
Primero definimos las siguientes funciones que llegan a la función cuya gráfica queremos obtener.
$g_1(x)=g_0(x+3)$. Entonces $g_1(x)=|x+3|$
$g_2(x)=-g_1(x)$. Entonces $g_2(x)=-|x+3|$
$g_3(x)=g_2(x)+1$. Entonces $g_3(x)=-|x+3|+1$
La sucesión de pasos para obtener la gráfica de $y=-|x+3|+1 $ está dada por la sucesión de gráficas $g_i$, una obtenida en base a la anterior:
Paso 1 Desplazamiento de 3 unidades de la gráfica $g_0(x)=|x|$ hacia la derecha.
Paso 2 Reflexión de la gráfica del paso anterior con respecto al eje $x$.
Paso 3 Subir una unidad la gráfica del paso anterior.
Ejemplo, sucesión de gráficas

Usando las propiedades del valor absoluto podemos cambiar dilataciones y contracciones horizontales en verticales.

Ejemplo Indique dos maneras de obtener la gráfica de $y=|2x+4| $ a partir de la gráfica de $y=|x|. $ Obtenga la gráfica.

Solución:
Para graficar $y=|2x+4| $ partimos de la gráfica de $g_0(x)=|x|$

Procedimiento 1

Definimos
$g_1(x)=g_0(x+4)$. Esto es, $g_1(x)=|x+4|$
$g_2(x)=g_1(2x)$. Esto es, $g_2(x)=|2x+4|$
Así, para obtener la gráfica podemos hacer los siguientes pasos:
Paso 1 Trasladamos la gráfica $y=|x|$ cuatro unidades hacia la izquierda.
Paso 2 La gráfica anterior la contraemos horizontalmente a la mitad.

Procedimiento 2 Por este procedimiento primero reescribimos $y=|2x+4| $ usando propiedades algebraicas y del valor absoluto.

$\begin{align*} y&=|2x+4|& \\ &=|2(x+2)|& \\ &= |2||x+2|& \; \;{\color{DarkBlue}{(|a\cdot b|=|a|\cdot|b|)} }\\ &=2|x+2|\\& \end{align*}$
Así que vamos a graficar la función viéndola como $y=2|x+2|$.
Definimos
$g_1(x)=g_0(x+2)$. Esto es, $g_1(x)=|x+2|$
$g_2(x)=2g_1(x)$. Esto es, $g_2(x)=2|x+2|$, la función a graficar
Esta sucesión de funciones establece estos otros pasos para obtener la gráfica.
Paso 1 Trasladamos la gráfica $y=|x|$ dos unidades hacia la izquierda.
Paso 2 La gráfica anterior la estiramos verticalmente al doble.
IFVA2d
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También podemos usar las propiedades del valor absoluto para evitar una reflexión con respecto al eje $x$.

Ejemplo Indique dos maneras de obtener de graficar $y=|2-x|$ a partir de la gráfica de $y=|x|. $ Obtenga la gráfica.

Solución:

Procedimiento 1

A partir de la función base $g_0(x)=|x|$ definimos la sucesión de funciones $g_1,g_2.$
$g_1(x)=g_0(x+2)$. Esto es $g_1(x)=|x+2|$
$g_2(x)=g_1(-x)$ Esto es $g_2(x)=|-x+2|$
El orden de las transformaciones para obtener la gráfica de $y=|2-x|$ está dado por la siguiente sucesión de pasos.
Paso 1 Correr la gráfica de $y=|x| $ dos unidades hacia la izquierda.
Paso 2 La gráfica obtenida en el paso anterior reflejarla con respecto al eje $y$.

Procedimiento 2 Antes de definir la sucesión de funciones, reescribimos la función usando las propiedades del valor absoluto.

$$ \begin{align*} y&=|2-x| \\ &=|-1(-2+x) | \\ &= |-1||(-2+x) | \; \; \; \; {\color{DarkBlue } {( | a\cdot b |= | a |\cdot | b | }} \\ &= |-2+x | \; \; \; \; \; \; \; \; \; \;\; \; { \color{DarkBlue} { ( | -1 |=1 ) } } \\ &= |x-2 |\\ \end{align*} $$
Con solo una traslación de 2 unidades hacia la derecha podemos conseguir la gráfica pedida.
IFVA2e

3 Gráfica de $y=f(|bx+c|)$ aplicando la definición de valor absoluto y graficando una función por partes

De la definición analítica de la función valor absoluto, $|x|=\left\{\begin{matrix} x, & &\textrm{si }x\ge 0 \\ -x, & & \textrm{si }x\lt 0 \end{matrix}\right.$, tenemos
$$ y=\left\{\begin{matrix} f(bx+c), & &\textrm{si }bx+c\ge 0 \\ f(-(bx+c)), & & \textrm{si }bx+c\lt 0 \end{matrix}\right. $$
Esto es,
$$ y=\left\{\begin{matrix} f(bx+c), & &\textrm{si }x\ge -\frac{c}{b} \\ f(-(bx+c)), & & \textrm{si }x\lt -\frac{c}{b} \end{matrix}\right. $$
Podemos graficar funciones del tipo $y=f(|bx+c|)$ graficando su expresión por partes.

Recuerde Para graficar esta función definida por partes, se traza en un mismo plano la curva $y=f(bx+c)$ en la región $x \ge -c/b$ y el trozo de curva $y=f(-(bx+c))$ correspondiente a la región en que $x \ge -c/b.$


Ejemplo Bosquejar la gráfica de $y=\sqrt{|x-3|} $

Solución:
Primero definimos las siguientes funciones que llegan a la función cuya gráfica queremos obtener.
La sucesión de pasos para obtener la gráfica de $y=\sqrt{|x-3|} $ está dada por la sucesión de gráficas $g_i$, una obtenida en base a la anterior:
Paso 1 Aplicar la definición de valor absoluto.
$y=\left\{\begin{matrix} \sqrt{x-3}, & &\textrm{si }x-3\ge 0 \\ \sqrt{-(x-3}, & & \textrm{si }x-3\le 0 \end{matrix}\right. $
Esto es,
$y=\left\{\begin{matrix} \sqrt{x-3}, & &\textrm{si }x\ge 3 \\ \sqrt{-x+3}, & & \textrm{si }x\lt 3 \end{matrix}\right. $
Paso 2 Graficar la función definida por partes.
El trozo de curva correspondiente a $x\ge 3$, se obtiene desplazando 3 unidades a la derecha la curva $y=\sqrt{x}$ y restringiendo la curva a la región $x\ge 3$. En este caso la región coincide con el dominio de la función.
Para graficar el trozo de curva correspondiente a $x\le 3$, se parte de $g_0(x)=\sqrt{x}$, y se definen
$g_1(x)=g_0(x+3)$. Esto es, $g_1(x)=\sqrt{x+3}$
$g_2(x)=g_1(-x)$. Esto es, $g_2(x)=\sqrt{-x+3}$
Para graficar trasladamos la curva $y=\sqrt{x}$ tres unidades a la izquierda, luego reflejamos la curva obtenida con respecto al eje $y$. Finalmente, nos quedamos con el trozo de curva en que $x\le 3$, en este caso es toda la curva.
IFVA31a
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Comentario Para graficar la segunda parte: $y= \sqrt{-x+3}, \; \; \textrm{ si }x\lt 3, $ pudimos también definir las siguientes funciones:

$h_1(x)=g_0(-x)$. Esto es, $h_1(x)= \sqrt{-x}$
$h_2(x)=h_1(x-3)$. Se puede verificar que $h_2(x)= \sqrt{-(x-3)}$ es la función a graficar.
Entonces para graficar se pudo primero hacer una reflexión con respecto al eje $y$ a la gráfica de $y=\sqrt{x}$. Luego, la curva obtenida se traslada tres unidades a la derecha.

Es posible aplicar estas ideas a otros tipos de funciones, por ejemplo una que contenga dos valores absolutos.

Ejemplo Trazar la gráfica de $y=|x+2|+|x-1|. $

Solución:

Paso 1 Aplicar la definición de valor absoluto

$y=|x+2|+|x-1| $
Se aplica dos veces la definición del valor absoluto. Las funciones dentro de las barras son lineales.
$x+2>0 $ si y sólo si $x>-2$
$x-1>0 $ si y sólo si $x>1$
Marcamos en la recta real los puntos donde las expresiones cambian de signo, $-2$ y $1.$ La recta queda dividida en tres intervalos, abajo de cada intervalo se ha anotado si las expresiones dentro del valor absoluto son mayores o menores a 0.
IFVA33
Podemos ahora escribir con facilidad la función como una función definida por partes.
$y=\left\{\begin{matrix} (x+2)+(x-1),& & \textrm{si } x \ge1 \\ (x+2)-(x-1),& & \textrm{si } -2\lt x \lt 1 \\ -(x+2)-(x-1),& & \textrm{si } x \le -2 \end{matrix}\right. $
Simplificando, obtenemos
$y=\left\{\begin{matrix} 2x+1& & \textrm{si } x \ge 1 \\ 3& & \textrm{si } -2\lt x \lt 1 \\ -2x-1 & & \textrm{si } x \le -2 \end{matrix}\right. $

Paso 2 Graficar la función definida por partes.
En cada intervalo se tienen expresiones lineales, sus gráficas están asociadas a rectas.
En el primer intervalo es una semirrecta que empieza en el punto $(1,3)$ y pasa por $(2,5)$ y sigue a la derecha de manera indefinida.
En el segundo intervalo, se tiene una constante, la gráfica corresponde al segmento de recta horizontal, $y=3$ que va de $x=-2$ a $x=1$.
En el tercer intervalo se tiene una semirrecta que pasa por $(-3,5)$ y finaliza en $(-2,3)$.
IFVA32a
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Ejercicio Trazar la gráfica de $y={|x-1|}^3. $

Respuesta:
IFVA33a
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Ejercicio Trazar la gráfica de $y=(|x-1|+2)^2$

Respuesta:
$y=\left\{\begin{matrix} (x+1)^2& & \textrm{si } x \ge 1 \\ (-x+3)^2& & \; \textrm{si } x \lt 1 \end{matrix}\right.$
IFVA35a
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4 Gráfica de $y=|g(x)|$ a partir de la gráfica $y=g(x)$

Si la gráfica de $y=g(x)$ es conocida, podemos graficar $y=|g(x)|$ mediante una transformación sencilla de la gráfica de $y=g(x)$. Si tomáramos en consideración una tabla de valores de $y=|g(x)|$ y de $y=g(x)$, veríamos que
Para los $x$ en que $g(x) \ge 0$, los valores de las dos funciones coinciden. Las gráficas, para los $x$ con esta característica, coinciden.
Para los $x$ en que $g(x) \le 0$, los valores de $y=|g(x)|$ son de la misma magnitud pero positivos. La gráfica de $y=|g(x)|$ es simétrica con respecto al eje $x$ a la gráfica de $y=g(x)$ en los puntos en que $g(x) \le 0$
Podemos entonces ver que el valor absoluto transforma la gráfica de $y=g(x)$ mediante que detallamos en el recuadro
Gráficar $y=|g(x)|$ a partir de la gráfica de $y=g(x)$
Los puntos de la gráfica de $y=g(x)$ que están por encima del eje $x$ quedan igual.
Los puntos de la gráfica de $y=g(x)$ que están por debajo del eje $x$ se reflejan con respecto a este eje.

Ejercicio Bosquejar la gráfica de $y= |x^2-1|$ a partir de la gráfica de $y=x^2-1$

Solución:
Primero se traza la gráfica de $y= x^2-1$. (Se obtiene bajando una unidad la gráfica de $y=x^2$)
IFVA41a
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A partir de la gráfica de $y= x^2-1$ se obtiene la gráfica de $y=| x^2-1|$, reflejando con respecto al eje $x$ sólo los puntos de la gráfica por debajo del eje $x$.
IFVA42a
Pasa el puntero sobre las imágenes para ver los puntos que se reflejan con respecto al eje $x$

Ejercicio Trazar la gráfica de $y= |\sqrt{x+1}-2|$ a partir de la gráfica de $y=\sqrt{x+1}-2$

Respuesta:
IFVA43a
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